Росатом, 2019/20, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Запишите пути, которые пройдут оба героя до встречи у Кролика, и приравняйте время, затраченное каждым из них.

Ответ

\(v_1 = 4v/3\).

Решение

Пусть расстояние от дома Винни Пуха до дома Кролика равно \(l\). Тогда после того как Винни Пух пошёл за банкой, Пятачку осталось пройти \(6l/7\), а Винни Пуху — \(8l/7\). Поскольку время, которое они должны затратить на это движение, одинаково, имеем \[\frac{6l/7}{v} = \frac{8l/7}{v_1},\] где \(v_1\) — скорость Винни Пуха. Отсюда находим \[v_1 = \frac{4}{3}\,v.\]

Подсказка

Вольтметры соединены последовательно, значит, через них течёт один и тот же ток. Как связаны сопротивления вольтметров с их показаниями в первом опыте?

Ответ

1) \(U_1' = 3\) В;  2) \(U_2' = 6\) В.

Решение

Каждый вольтметр показывает напряжение на самом себе. В первом случае вольтметры соединены последовательно, поэтому через них течёт одинаковый ток. Следовательно, сопротивление второго вольтметра вдвое больше сопротивления первого.

Когда последовательно подключены три вольтметра, через них течёт одинаковый ток. А поскольку напряжение на третьем \(U_3 = 9\) В, следовательно, на первых двух — тоже \(9\) В, которые поделятся между первым и вторым вольтметром в той же пропорции. Поэтому \[U_1' = 3~\text{В}, \qquad U_2' = 6~\text{В}.\]

Подсказка

Сравните энергию, которую лампа выделяет за время \(t\), с энергией, нужной для нагрева воды. Разность — то, что ушло наружу излучением.

Ответ

\(\eta = 0{,}44\) (т.е. \(44\) %).

Решение

За время \(t\) лампа выделяет количество теплоты \(Q = Pt\). Для нагрева воды нужно количество теплоты \[q = cm\,\Delta T.\] Отсюда находим количество теплоты, которое сосуд пропускает через стенки, \[\Delta q = Q - q = Pt - cm\,\Delta T,\] и долю этой величины от излучённого лампой количества теплоты \[\eta = \frac{Q-q}{Q} = \frac{Pt - cm\,\Delta T}{Pt} = 0{,}44.\]

Подсказка

Запишите условие плавания кубика без внешней силы и при действии силы \(F\) и \(3F\). Отношение двух уравнений исключит \(\rho_0 g a^3\).

Ответ

\(\rho = \rho_0/4 = 250\) \(\text{кг/м}^3\).

Решение

Пусть свободно плавающий кубик погружается в воду на глубину \(h\). Тогда условие равновесия кубика даёт \[\rho g a^3 = \rho_0 g a^2 h, \qquad (*)\] где \(\rho\) — плотность вещества кубика, \(a\) — длина его ребра. Отсюда находим отношение плотностей кубика и воды \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{h}{a}. \qquad (**)\] Когда на плавающий кубик действует «утапливающая» сила \(F\), условие равновесия даёт \[\rho g a^3 + F = \rho_0 g V_{\text{п.ч.}},\] где \(V_{\text{п.ч.}} = a^2(h + \Delta h)\) — объём погружённой части кубика, \(\Delta h\) — глубина «притопления» кубика силой \(F\) дополнительно к его погружению за счёт силы тяжести. Отсюда с учётом \((*)\) получаем \(F = \rho_0 g a^2 \Delta h\).

Поэтому для равновесных положений кубика, данных в задаче, имеем \[F = \rho_0 g a^2\Bigl(\frac{a}{2} - h\Bigr) = \rho_0 g a^3\Bigl(\frac{1}{2} - \frac{h}{a}\Bigr), \qquad 3F = \rho_0 g a^2 (a - h) = \rho_0 g a^3\Bigl(1 - \frac{h}{a}\Bigr). \qquad (***)\] Деля уравнения \((***)\) друг на друга, получаем \[\frac{2}{3} = \frac{1 - 2x}{1 - x}, \qquad x = \frac{h}{a}.\] Отсюда находим \(x = \dfrac{1}{4}\), а затем из формулы \((**)\) плотность кубика \[\rho = \frac{\rho_0}{4} = 250~\text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Число остановок автомобиля на участке зависит от его скорости. Рассмотрите отдельно случаи, когда автомобиль проезжает участок без остановок, с одной, двумя или тремя остановками.

Ответ

\(v = 0{,}7L/\Delta t = 11{,}7\) \(\text{м/с}\) или \(v = 0{,}35L/\Delta t = 5{,}8\) \(\text{м/с}\).

Решение

Найдём отношение скорости машины \(v\) к её средней скорости на рассматриваемом участке. При этом нужно рассмотреть скорости, при которых машины делают разное количество остановок на участке \(L\), поскольку при разном количестве остановок получаются разные отношения.

Первый случай. Скорости машин \(v > L/\Delta t\). Машина проезжает участок без остановки за время \(\Delta t_1 = L/v\), средняя скорость \(v_{\text{ср}} = v\), и отношение \(v/v_{\text{ср}} = 1\) никогда не равно \(1{,}7\).

Второй случай. Скорости машин лежат в интервале \(L/(2\Delta t) < v < L/\Delta t\). Машина делает ровно одну остановку на участке \(L\), и время прохождения участка складывается из одного интервала движения, одной остановки и времени прохождения остатка участка: \[\Delta t_2 = 2\Delta t + \frac{L - v\Delta t}{v} = \Delta t + \frac{L}{v}.\] Отсюда средняя скорость \(v_{\text{ср}} = \dfrac{L}{\Delta t_2}\) и \[\frac{v}{v_{\text{ср}}} = 1 + \frac{v\Delta t}{L}. \qquad (*)\] Это отношение линейно зависит от скорости машины; на границах интервала оно принимает значения \(2\) (при \(v = L/\Delta t\)) и \(1{,}5\) (при \(v = L/(2\Delta t)\)). Значение \(1{,}7\) попадает в этот интервал. Поэтому из формулы \((*)\) находим \[v = \frac{0{,}7L}{\Delta t} = 11{,}7~\text{м/с}.\]

Третий случай. Скорости машин лежат в интервале \(L/(3\Delta t) < v < L/(2\Delta t)\). Машина делает ровно две остановки, и время прохождения участка \[\Delta t_3 = 4\Delta t + \frac{L - 2v\Delta t}{v} = 2\Delta t + \frac{L}{v},\] откуда \(v_{\text{ср}} = L/\Delta t_3\) и \[\frac{v}{v_{\text{ср}}} = 1 + \frac{2v\Delta t}{L}.\] На границах интервала отношение принимает значения \(2\) (при \(v = L/(2\Delta t)\)) и \(1 + \tfrac{2}{3} \approx 1{,}66\) (при \(v = L/(3\Delta t)\)). Значение \(1{,}7\) попадает в этот интервал. Поэтому из формулы для отношения находим \[v = \frac{0{,}35L}{\Delta t} = 5{,}8~\text{м/с}.\]

Остальные случаи. При \(n\) остановках на участке отношение равно \(1 + n\,v\Delta t/L\) на интервале \(L/((n+1)\Delta t) < v < L/(n\Delta t)\), и его нижняя граница равна \(1 + n/(n+1)\). Для \(n \geq 3\) эта граница уже не меньше \(1{,}75\), так что значение \(1{,}7\) в интервал не попадает. Значит, условию удовлетворяют только найденные два значения скорости: \(v = 11{,}7\) м/с и \(v = 5{,}8\) м/с.

Итак, отношение скорости рассматриваемой машины к её средней скорости равно \(1{,}7\) при \(v = 0{,}7L/\Delta t = 11{,}7\) м/с и при \(v = 0{,}35L/\Delta t = 5{,}8\) м/с.