зад 1 Два шара: железный и из сплава
Плотность вещества представляет собой массу единицы объёма данного вещества. Поэтому плотность вещества однородного тела можно найти как отношение массы тела к его объёму. В распоряжении экспериментатора есть два шара — железный и шар из неизвестного сплава. Масса железного шара в 2 раза больше массы шара из неизвестного сплава, а объём — в 3 раза меньше. Найти плотность неизвестного сплава, если плотность железа равна \(\rho = 7{,}8\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите плотность каждого шара как отношение массы к объёму и используйте известные соотношения между массами и объёмами.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_1 = \dfrac{\rho}{6} \approx 1{,}3\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть масса железного шара \(m\), а объём \(V\). Тогда плотность железа \(\rho = \dfrac{m}{V}\). Для неизвестного сплава \(\rho_1 = \dfrac{m_1}{V_1}\), где по условию \(m_1 = \dfrac{m}{2}\), а \(V_1 = 3V\). Поэтому \[\rho_1 = \frac{m/2}{3V} = \frac{1}{6}\,\frac{m}{V} = \frac{\rho}{6} = 1{,}3~\text{г/см}^3.\]
зад 2 Объём античной бутылки
При раскопках древнеримского города археологи нашли бутылку, имеющую такую форму: нижняя часть бутылки имеет форму параллелепипеда, верхняя (объёмом меньше половины полного объёма) имеет неправильную форму (см. рисунок). Как, имея только линейку, сколько угодно воды и пробку для затыкания бутылки, измерить объём бутылки? Опишите последовательность действий и вычислений при измерении.
▶ПодсказкаСкрыть
Заполните водой только прямоугольную часть бутылки, затем заткните горлышко пробкой и переверните бутылку. Что займёт воздух, а что вода?
▶ОтветСкрыть
Объём бутылки равен сумме объёма воды и объёма воздуха, каждый из которых находится как произведение трёх линейных размеров: \(V = abc + a'b'c'\), где \(a, b, c\) — длина, ширина и высота столба воды в прямоугольной части, а \(a', b', c'\) — размеры слоя воздуха в той же части после переворота.
▶РешениеСкрыть
Налейте в бутылку воду так, чтобы она заполняла только прямоугольную часть бутылки, и измерьте линейкой (по внешним размерам, считая стекло тонким) длину, ширину и высоту столба воды в бутылке. Объём воды равен произведению этих трёх размеров.
Затем заткните горлышко пробкой и переверните бутылку. Вода опустится в «кривую» часть бутылки, а в прямой части будет воздух. С помощью линейки измерьте длину, ширину и высоту слоя воздуха. Его объём равен произведению этих трёх размеров.
Объём бутылки равен сумме объёмов воды и воздуха.
зад 3 Календарь Вселенной
Известный астроном и популяризатор науки Карл Саган придумал «календарь Вселенной». Он все 14 миллиардов лет, которые прошли с момента образования Вселенной (с момента Большого взрыва) до настоящего момента, поместил в один календарный год. Считая, что год — это ровно 365 дней, возраст Вселенной составляет ровно 14 миллиардов лет, и что человек появился на Земле ровно 3 миллиона лет назад, определить какого числа и в какое время по календарю Карла Сагана появился человек на Земле.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите, сколько секунд календаря Сагана соответствует одному миллиону лет возраста Вселенной, и составьте пропорцию.
▶ОтветСкрыть
Человек появился за \(112{,}5\) мин до Нового года, т.е. 31 декабря в 22 ч 7 мин 30 с.
▶РешениеСкрыть
Найдём время календаря Сагана, соответствующее одному миллиону лет возраста Вселенной. Из пропорции \[14\cdot10^{9}~\text{лет} \;\leftrightarrow\; 365\cdot24\cdot60\cdot60 = 31{,}5\cdot10^{6}~\text{с}, \qquad 1\cdot10^{6}~\text{лет} \;\leftrightarrow\; x\] получаем \(x = 2{,}25\cdot10^{3}\) с \(= 37{,}5\) мин. Значит, 3 миллиона лет соответствуют \(3x = 112{,}5\) мин. По календарю Сагана человек появился за \(112{,}5\) мин до Нового года, т.е. 31 декабря в 22 ч 7 мин 30 с.
зад 4 Электричка обгоняет товарный поезд
По двум параллельным путям в одну сторону едут товарный поезд и электричка. Скорость товарного поезда \(v\), длина \(l\). Скорость электрички \(\frac{5v}{2}\), длина \(\frac{l}{4}\). В течение какого времени электричка будет обгонять товарный поезд?
▶ПодсказкаСкрыть
Обгон начинается, когда начало электрички поравнялось с концом товарного поезда, и заканчивается, когда конец электрички поравнялся с началом товарного поезда.
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{5l}{6v}\).
▶РешениеСкрыть
Разность путей, пройденных электричкой и товарным поездом за время обгона \(t\), равна сумме длин электрички и товарного поезда: \[\frac{5}{2}vt - vt = l + \frac{l}{4}.\] Отсюда \(\dfrac{3}{2}vt = \dfrac{5l}{4}\), и \[t = \frac{5l}{6v}.\]
зад 5 Световой километр
Для измерения расстояний между звёздами астрономы используют специальную единицу измерений — световой год, которая представляет собой расстояние, проходимое лучом света за 1 год. Какую величину с использованием логики определения светового года следует назвать световым километром? Переведите 1 световой километр в единицы СИ. Скорость света составляет \(300\,000\) км/с.
▶ПодсказкаСкрыть
По аналогии со световым годом: сколько времени свету нужно, чтобы пройти 1 километр?
▶ОтветСкрыть
Световой километр — это время, за которое свет проходит 1 километр. В единицах СИ \(1\) св.км \(= \dfrac{1\text{ км}}{3\cdot10^5\text{ км/с}} \approx 0{,}33\cdot10^{-5}\) с \(= 3{,}3\cdot10^{-6}\) с.
▶РешениеСкрыть
Световой год — расстояние, которое луч света проходит за год. По той же логике световой километр — это время, за которое луч света проходит расстояние в один километр: \[1~\text{св.км} = \frac{1~\text{км}}{3\cdot10^{5}~\text{км/с}} = 0{,}33\cdot10^{-5}~\text{с} = 3{,}3\cdot10^{-6}~\text{с}.\]
Источник: Олимпиада «Росатом» по физике, 2025/26, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.