ВсОШ, 2016/17, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Теоретическое введение.

Если отклонить в поперечном направлении свободный конец вертикально закреплённой с одного конца упругой планки (рис. 1) и отпустить, то возникнут свободные поперечные колебания планки вблизи её вертикального положения. Однако, как несложно убедиться экспериментально, такие колебания возникают только в том случае, если длина \(\ell\) свободного, направленного вверх, конца планки не превышает некоторую критическую длину \(\ell_{\text{кр}}\). В этом случае вертикальное положение планки устойчиво и при небольшом отклонении она возвращается в исходное равновесное положение. Если же \(\ell > \ell_{\text{кр}}\), то вертикальное положение планки становится неустойчивым и при небольшом поперечном воздействии равновесие планки нарушается, и она заваливается, сильно изогнувшись под действием собственного веса. При \(\ell = \ell_{\text{кр}}\) вертикальное положение планки соответствует безразличному равновесию.

Критическая длина \(\ell_{\text{кр}}\), при которой планка теряет устойчивость, определяется плотностью \(\rho\) материала планки, его модулем Юнга \(E\) и геометрическими размерами свободного конца планки — шириной \(b\) и толщиной \(\delta\), а также ускорением свободного падения \(g\). Для куба критической длины тонкой (\(\delta \ll b\)) линейки справедлива формула: \[\ell_{\text{кр}}^3 = \alpha E^m \rho^n b^p \delta^q g^u, \qquad (1)\] где \(m\), \(n\), \(p\), \(u\) — некоторые целые числа, \(\alpha \approx 2/3\) — безразмерный коэффициент, \(q = 2\).

Такими же параметрами определяется прогиб горизонтально закреплённой планки под влиянием собственного веса (рис. 2). Так, максимальное смещение \(y\) конца тонкой планки длиной \(\ell\) (так называемая стрела прогиба) можно определить по формуле: \[y = \beta E^k \rho^r b^s \delta^t g^h \ell^f, \qquad (2)\] где \(k\), \(r\), \(s\), \(h\), \(f\) — некоторые целые числа, \(\beta = 3/2\) — безразмерный коэффициент, \(t = -2\).

Отметим, что формула (2) справедлива при условии малости прогиба \(y < 0{,}5\,\ell\).

Как правило, непосредственно измерить критическую длину \(\ell_{\text{кр}}\) весьма сложно: вблизи критической длины из-за множества случайных факторов, таких как небольшое отклонение от вертикали, неровности, неоднородность материала, планка ведёт себя совершенно непредсказуемо. Точность такого опыта будет невелика. Более точно критическую длину можно определить путём экстраполяции какой-либо величины, зависящей от длины планки, в критическую область. Такой величиной, в частности, является период \(T\) (частота \(\nu = 1/T\)) поперечных колебаний свободного конца планки. Несложно догадаться, какой период (частота) соответствует критической длине. Это позволяет путём линейной экстраполяции зависимости \(\nu(\ell)\) в критическую область достаточно точно определить \(\ell_{\text{кр}}\). (Кстати, именно таким способом определяются, в частности, температуры различных фазовых переходов: при этом исследуются свойства вещества вблизи температуры фазового перехода, а сама температура определяется путём экстраполяции.)

В заключение напомним, что модуль Юнга — одна из важных характеристик, определяющая упругие свойства изотропного материала. По закону Гука относительная деформация \(\varepsilon\) стержня под действием силы \(F\), приложенной перпендикулярно плоскости его поперечного сечения площадью \(S\), равна: \(\varepsilon = \Delta\ell/\ell = F/(ES)\). Модуль Юнга входит в формулу для скорости звука в различных материалах. Если по торцу тонкого стержня ударить молотком, то по стержню побежит звуковая волна со скоростью \(c_{\text{зв}} = (E/\rho)^{1/2}\). Для стали с модулем Юнга \(E = 2\cdot 10^{11}\) Па и плотностью \(\rho = 7{,}9\) г/см\(^3\) эта скорость равна \(c_{\text{зв}} = (E/\rho)^{1/2} \approx 5\) км/с.

Цель работы. В данной работе экспериментально определяется критическая длина тонкой (\(\delta \ll b\)) пластиковой планки. По величине критической длины определяется скорость звука в пластике, из которого изготовлена планка. В работе потребуется:

• руководствуясь общефизическими соображениями, экспериментальными результатами и методом размерностей определить показатели степеней в формулах (1) и (2);

• экспериментально определить численное значение критической длины \(\ell_{\text{кр}}\) двумя способами: 1) по периоду колебаний вертикально закреплённой планки; 2) по стреле прогиба горизонтально закреплённой планки;

• используя экспериментальные результаты, определить скорость звука в материале (пластике), из которого изготовлена планка.

Оборудование. Пластиковая планка толщиной \(\delta = 0{,}7\) мм; секундомер; деревянная линейка длиной 50 см; прижимная планка, портняжный метр; две канцелярские клипсы (48 мм); миллиметровая бумага формата А4 (2 листа); чистый лист бумаги формата А4. Ножницы выдаются по требованию.

Задание.

1. С помощью чистого листа А4 исследуйте зависимость \(y \sim b^s\) (напомним, что \(s\) — целое число). Приведите рисунок, поясняющий, как вы проводите данную часть эксперимента.

2. Руководствуясь экспериментальными результатами и методом размерностей, определите показатели степеней в формулах (1) и (2).

3. Путём непосредственного измерения сделайте оценку \(\ell_{\text{кр}}\).

4. Снимите экспериментальную зависимость периода \(T\) свободных колебаний от длины \(\ell\) свободного конца вертикально закреплённой планки \(T(\ell)\) (свободный конец планки направлен вверх). Для каждого значения \(\ell\) проделайте как минимум 2 измерения, при этом общее время колебаний в пределах одного опыта не должно быть меньше 5–10 с. Измерения проведите для \(\ell \ge (0{,}6 \text{--} 0{,}7)\,\ell_{\text{кр}}\).

5. Постройте график зависимости частоты колебаний \(\nu\) от длины \(\ell\) колеблющейся части планки \(\nu(\ell)\).

6. Проведите через нанесённые точки наилучшую прямую и путём линейной экстраполяции определите \(\ell_{\text{кр}}\).

7. По значению \(\ell_{\text{кр}}\), полученному в п. 6, определите скорость звука \(c_{\text{зв I}}\) в материале планки.

8. Снимите зависимость стрелы прогиба \(y\) от длины свободного конца \(\ell\) горизонтально закреплённой планки \(y(\ell)\). Измерения проводите в таком диапазоне, для которого \(y < 0{,}5\,\ell\).

9. Выразите \(y\) через \(\ell_{\text{кр}}\) и \(\ell\). Запишите полученную формулу \(y = y(\ell_{\text{кр}}, \ell)\).

10. По результатам измерений в п. 8 постройте график в подходящих координатах и из него определите \(\ell_{\text{кр}}\). Сравните полученное значение со значением \(\ell_{\text{кр}}\), полученным методом колебаний (п. 6).

11. По значению \(\ell_{\text{кр}}\), полученному в п. 10, определите скорость звука \(c_{\text{зв II}}\) в материале планки.

12. Сравните значения \(c_{\text{зв I}}\) и \(c_{\text{зв II}}\). Сделайте выводы.

▶РешениеСкрыть

Решение

1. На чистом листе бумаги делаем разрезы, которые делят его на полоски разной ширины. Убеждаемся, что в пределах погрешности (связанной с неоднородностью бумаги) стрела прогиба не зависит от ширины полосок, следовательно, \(s = p = 0\).

2. Так как \(y \sim F\), а \(F \sim g\), то \(h = 1\). Тогда из соображений размерности получаем: \[\ell_{\text{кр}}^3 = \frac{2E\delta^2}{3\rho g}, \qquad (3)\] \[y = \frac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2}. \qquad (4)\]

3. Непосредственное измерение даёт \(\ell_{\text{кр}} \approx 45\text{--}50\) см.

4. Снимаем зависимость \(T(\ell)\):

5. Строим график \(\nu(\ell)\):

6. Проводим через экспериментальные точки наилучшую прямую. Критическую длину определяем, экстраполируя зависимость \(\nu(\ell)\) до пересечения с осью абсцисс, то есть в значение \(\nu = 0\). (Очевидно, что при \(\ell = \ell_{\text{кр}}\) из-за отсутствия возвращающей силы период \(T \to \infty\) и, соответственно, \(\nu \to 0\).) Из графика: \(\ell_{\text{кр}} = (44 \pm 1)\) см.

7. Из теоретического введения и (3): \(\ell_{\text{кр}}^3 = 2E\delta^2/(3\rho g) = 2c_{\text{зв}}^2\delta^2/(3g)\), откуда \[c_{\text{зв I}} = \left(\frac{3g\ell_{\text{кр}}^3}{2\delta^2}\right)^{1/2} \approx 1{,}60\text{ км/с}.\]

8. Снимаем зависимость \(y(\ell)\):

9. Из теоретического введения и (4): \(y = \dfrac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2} = \dfrac{3g\ell^4}{2c_{\text{зв}}^2\delta^2}\). Учитывая, что \(\ell_{\text{кр}}^3 = 2c_{\text{зв}}^2\delta^2/(3g)\), получаем \(y = y(\ell_{\text{кр}}, \ell) = \ell^4/\ell_{\text{кр}}^3\).

10. В координатах \((y, \ell^4)\) график зависимости \(y(\ell)\) — прямая линия с угловым коэффициентом \(A = 1/\ell_{\text{кр}}^3\):

Точки хорошо ложатся на прямую \(y\) (см) \(= A\ell^4 = (1{,}116\cdot 10^{-5})\,\ell^4\) (см), откуда \(\ell_{\text{кр}} = (1/A)^{1/3} \approx 44{,}8\) см. Этот результат в пределах погрешности совпадает с величиной \(\ell_{\text{кр}} = 44\) см, полученной методом колебаний.

11. \(c_{\text{зв II}} = (3g\ell_{\text{кр}}^3/2\delta^2)^{1/2} \approx 1{,}64\) км/с.

12. Различие \(c_{\text{зв I}}\) и \(c_{\text{зв II}}\) составляет \(\Delta c/c \approx 3\%\). Это означает, что в пределах погрешности результаты «метода колебаний» и «метода стрелы прогиба» согласуются.

В чёрном ящике с четырьмя выводами находятся четыре элемента, соединённые звездой. В каждом луче звезды содержится только один элемент. Этими элементами могут быть: резисторы, диоды, конденсаторы, катушки индуктивности, батарейки.

1. Определите, какие элементы находятся в лучах звезды, и, в случае обнаружения резисторов, определите их сопротивления.

2. Определите внутреннее сопротивление мультиметра в режиме вольтметра (диапазон 20 В).

3. Определите напряжение на выходе мультиметра, включённого в режиме омметра в диапазоне 2000 кОм.

Приборы и оборудование: чёрный ящик, мультиметр.

▶РешениеСкрыть

Решение

1. Мультиметром в режиме вольтметра проверяем попарно все выводы и убеждаемся в отсутствии источников напряжения. Измеряем омметром (в режиме 2000 кОм) сопротивления между выводами и заносим результаты в таблицы.

Обращаем внимание на то, что показания омметра при подключении щупов к контакту 1 и любому другому контакту постепенно увеличиваются и через 10–20 с выходят за диапазон измерений. Так может себя вести только конденсатор. По мере зарядки ток через него уменьшается, и омметр отображает «бесконечное» сопротивление. Обнаружив конденсатор, не забываем разряжать его после каждого измерения и контролируем этот процесс с помощью вольтметра.

Катушка индуктивности вела бы себя иначе: её сопротивление в установившемся режиме должно стремиться к нулю, так как катушки стараются изготовлять с малым сопротивлением. Характерное время установления тока в цепи, составленной из последовательно соединённых резистора и подобной катушки, порядка \(L/R \le 10^{-4}\) с, поэтому по скорости изменения показаний омметра наличие индуктивности не заметить. Однако если катушка последовательно соединена с конденсатором, то конденсатор должен довольно быстро (за время \(t \le 2\pi\sqrt{LC} \approx 0{,}2\) с) зарядиться, и омметр опять отображал бы «бесконечное» сопротивление. Этого не наблюдается, значит, катушки в ящике нет. Кроме того, сопротивление двух последовательно соединённых резисторов совпало бы с суммой их сопротивлений, измеренных по отдельности, что тоже не наблюдается. Диод вёл бы себя так, что его сопротивление в открытом состоянии было бы мало (но постоянно), а в закрытом — бесконечно велико (но тоже постоянно). Этот случай в наших измерениях также не наблюдается.

Таким образом, можно утверждать, что в лучи звезды включены конденсатор (вывод 1) и три резистора (выводы 2, 3 и 4). Значения сопротивлений резисторов определим, решая систему уравнений для \(R_{23} = R_2 + R_3\), \(R_{24} = R_2 + R_4\), \(R_{34} = R_3 + R_4\), где \(R_{23} = 833\) кОм, \(R_{24} = 1091\) кОм, \(R_{34} = 1382\) кОм: \[R_2 = \frac{R_{23} + R_{24} - R_{34}}{2} \approx 270\text{ кОм}, \qquad R_3 = \frac{R_{23} + R_{34} - R_{24}}{2} \approx 562\text{ кОм}, \qquad R_4 = \frac{R_{24} + R_{34} - R_{23}}{2} \approx 820\text{ кОм}.\]

2. Для определения напряжения \(U_0\) на выходе омметра и внутреннего сопротивления \(R_V\) вольтметра будем заряжать конденсатор в течение не менее пяти минут от омметра через резистор с минимальным сопротивлением 270 кОм (рис. 2).

При этом конденсатор зарядится до некоторого напряжения \(U_0\). Затем отсоединим омметр от четырёхполюсника и подключим к нему мультиметр в режиме вольтметра (рис. 3). Вольтметр подключаем к двум выводам четырёхполюсника, один из которых соединён с конденсатором, а другой с одним из резисторов (например, \(R_2\)). После подключения вольтметра внимательно следим за его показаниями и фиксируем их максимальное значение \(U_{12}\). Показания вольтметра начнут уменьшаться из-за разрядки конденсатора через внутреннее сопротивление вольтметра. Измеренное максимальное напряжение \[U_{12} \approx \frac{U_0 R_V}{R_V + R_2} = 0{,}227\text{ В}. \qquad (1)\] Затем процедуру повторяем, а вольтметр подключаем к выводам конденсатора и другого резистора (например, \(R_3 = 562\) кОм). В этом случае максимальное показание \[U_{13} \approx \frac{U_0 R_V}{R_V + R_3} = 0{,}184\text{ В}. \qquad (2)\]

Решая систему уравнений (1) и (2) с учётом значений \(R_2\) и \(R_3\), найдём: \[U_0 = \frac{U_{12}U_{13}(R_3 - R_2)}{U_{13}R_3 - U_{12}R_2} \approx 0{,}28\text{ В}, \qquad R_V = \frac{U_{13}R_3 - U_{12}R_2}{U_{12} - U_{13}} \approx 1{,}0\text{ МОм}.\] Для повышения достоверности нужно провести аналогичные измерения и расчёты для всех трёх возможных подключений вольтметра к четырёхполюснику (1–2; 1–3; 1–4). Для подключения 1–4 получено \(U_{14} = 0{,}159\) В.

Существенное искажение в результаты измерений больших сопротивлений (МОм) может внести «замыкание» двумя руками контактов омметра (электрическое сопротивление человека может составлять «всего» несколько сотен кОм).

Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2016/17, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.