ВсОШ, 2016/17, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Уравновесьте линейку на опоре и подвесьте к ней шприц: условие равновесия моментов до и после заполнения шприца водой даёт его массу. Затем подберите объём неизвестной жидкости, при котором шприц безразлично плавает полностью погружённым.

Ответ

Плотность неизвестной жидкости \(\rho = (1{,}15 \pm 0{,}09)\) г/см\(^3\); масса пустого шприца \(m = (4{,}3 \pm 0{,}5)\) г; средняя плотность материала шприца \(\rho_{\text{ш}} = (0{,}90 \pm 0{,}07)\) г/см\(^3\).

Решение

1. Координата центра тяжести линейки найдена уравновешиванием её на стержне, прикреплённом к краю стола зажимом: \(x_{\text{л}} = (252{,}0 \pm 0{,}5)\) мм.

Шприц подвешивается к линейке, которая служит рычагом и противовесом; точка опоры линейки на стержень при равновесии имеет координату \(x_1\), точка подвеса шприца — \(x_{\text{ш}}\). Затем шприц заполняется водой (объём \(V = 6{,}0\) мл), и при той же координате \(x_{\text{ш}}\) находится новая точка опоры \(x_2\). Условия равновесия: \[m\,(x_{\text{ш}} - x_1) = m_{\text{л}}\,(x_1 - x_{\text{л}}), \qquad (1)\] \[(\rho_{\text{в}} V + m)\,(x_{\text{ш}} - x_2) = m_{\text{л}}\,(x_2 - x_{\text{л}}), \qquad (2)\] где \(m_{\text{л}}\) — масса линейки. Из них масса шприца \[m = \frac{\rho_{\text{в}} V (x_1 - x_{\text{л}})(x_{\text{ш}} - x_2)}{(x_2 - x_1)(x_{\text{ш}} - x_{\text{л}})}. \qquad (3)\]

2. Заполняем шприц неизвестной жидкостью до объёма \(V\), не меняя его положение на линейке, и снова добиваемся равновесия (точка опоры \(x_3\)): \[(\rho V + m)\,(x_{\text{ш}} - x_3) = m_{\text{л}}\,(x_3 - x_{\text{л}}). \qquad (4)\] Отсюда плотность жидкости \[\rho = \rho_{\text{в}}\,\frac{(x_{\text{ш}} - x_2)(x_3 - x_1)}{(x_2 - x_1)(x_{\text{ш}} - x_3)}. \qquad (5)\] Для оценки погрешности проведены измерения для серии положений шприца (таблица); результаты по строкам: \(x_{\text{ш}}\) (мм) и далее \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) (мм), \(m\) (г), \(\rho\) (г/см\(^3\)).

Усредняя значения, получаем \(\rho = (1{,}15 \pm 0{,}09)\) г/см\(^3\) (погрешность \(7{,}7\%\)) и \(m = (4{,}3 \pm 0{,}5)\) г (погрешность \(12\%\)).

3. Плотность материала шприца. Шприц плавает в воде, и вытесненный объём воды точно измерить нечем. Но можно добиться безразличного равновесия шприца в полностью погружённом состоянии, отливая часть неизвестной жидкости обратно в стаканчик. Такое положение достигается при объёме неизвестной жидкости в шприце \(V_1 = (3{,}0 \pm 0{,}2)\) мл. Тогда, приравнивая вес шприца с жидкостью выталкивающей силе, \[\rho V_1 + m = \rho_{\text{в}}\left(V_1 + \frac{m}{\rho_{\text{ш}}}\right),\] откуда \[\rho_{\text{ш}} = \frac{\rho_{\text{в}}}{1 + \dfrac{(\rho - \rho_{\text{в}})V_1}{m}} = 0{,}90 \pm 0{,}07~\text{г/см}^3 \quad (\text{погрешность } 8\%).\] Погрешность оценена методом границ. Гидростатическое взвешивание менее точно при данном оборудовании: высота стакана ограничивает количество жидкости, которую можно набрать в шприц так, чтобы он был полностью погружён и не касался дна.

Подсказка

Для тока короткого замыкания нужны напряжение источника и сопротивление резистора внутри ящика. Два вольтметра с известным внутренним сопротивлением, включённые по-разному, дают два уравнения для этих неизвестных.

Ответ

\(I_{\text{кз}} = (6{,}5 \pm 1{,}4)\) мкА (при \(U = (9{,}9 \pm 0{,}8)\) В и \(R = (1{,}5 \pm 0{,}2)\) МОм).

Решение

Для определения тока короткого замыкания необходимо определить напряжение \(U\) источника и сопротивление \(R\) резистора внутри «серого» ящика.

К выводам ящика подключаем вольтметр и снимаем показание \(U_1 = (3{,}94 \pm 0{,}05)\) В. Подключив два вольтметра, соединённых последовательно, получаем \(U_2 = (2{,}82 \pm 0{,}04)\) В. Сумма показаний вольтметров не совпадает с \(U_1\), что говорит о том, что сопротивление внутри ящика сравнимо с сопротивлением вольтметра. Сопротивление вольтметра в режиме 20 В измерено вторым мультиметром в режиме мегаомметра: \(R_{\text{V}} = (1{,}00 \pm 0{,}02)\) МОм.

Теоретические зависимости напряжений на одном и на двух последовательно включённых вольтметрах: \[U_1 = \frac{U R_{\text{V}}}{R + R_{\text{V}}}, \qquad U_2 = \frac{U R_{\text{V}}}{R + 2R_{\text{V}}}.\] Решая систему относительно \(U\) и \(R\), получим \[U = \frac{U_1 U_2}{U_1 - U_2} = (9{,}9 \pm 0{,}8)~\text{В}, \qquad R = R_{\text{V}}\,\frac{2U_2 - U_1}{U_1 - U_2} = (1{,}5 \pm 0{,}2)~\text{МОм}.\] К аналогичным значениям приводят измерения двумя вольтметрами, соединёнными параллельно (показание \(U_3 = (2{,}46 \pm 0{,}04)\) В).

Ток короткого замыкания \[I_{\text{кз}} = \frac{U}{R} = (6{,}5 \pm 1{,}4)~\text{мкА}.\] При измерении больших сопротивлений следует избегать соприкосновения пальцев рук с электрическими контактами приборов: сопротивление тела человека сравнимо с 1 МОм и может существенно исказить результат.