ВсОШ, 2017/18, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Атомы и молекулы веществ, относящихся к парамагнетикам и к ферромагнетикам, имеют собственные магнитные моменты. При низких температурах в ферромагнетиках за счёт взаимодействия соседних атомов возникают области объёма, называемые доменами, в которых магнитные моменты атомов одинаково направлены. Если в предмете из ферромагнитного вещества большая часть доменов имеет примерно одинаковое направление намагниченности, вокруг таких предметов возникает сильное магнитное поле. Это постоянные магниты. При повышении температуры тепловое движение разрушает упорядоченность магнитных моментов, и ферромагнетик превращается в парамагнетик. В парамагнетиках домены отсутствуют, моменты атомов ведут себя независимо друг от друга. Температура, соответствующая этому переходу, называется температурой Кюри. Магнит, нагретый до температуры Кюри, необратимо теряет свои свойства. Выше температуры Кюри ферромагнетик находится в парамагнитном состоянии и может проявлять магнитные свойства только во внешнем магнитном поле.

Значение магнитного момента \(p_m\) парамагнитного образца определяется формулой \(p_m = \chi V B\), где \(\chi\) — магнитная восприимчивость, \(V\) — объём образца, \(B\) — величина внешнего магнитного поля. Магнитная восприимчивость зависит от абсолютной температуры \(T\) в соответствии с законом Кюри–Вейса: \[\chi = \frac{C}{T - T_c},\] где \(T_c\) — температура Кюри. Когда парамагнитный образец находится в неоднородном внешнем поле, на него действует сила, втягивающая его в область более сильного поля. Величина этой силы пропорциональна магнитному моменту \(p_m\).

Часть 1. Температура Кюри неодимового магнита. При достижении температуры Кюри \(T_c\) постоянный магнит размагничивается. Ваша задача по возможности точно определить температуру Кюри.

1. Продумайте и подробно опишите метод измерений, по возможности сопроводив описание рисунком.

2. Проведите измерения, используя выданные вам маленькие неодимовые магниты.

3. Оцените погрешность определения \(T_c\) маленьких неодимовых магнитов.

Оборудование для части 1: 1) 10 маленьких неодимовых магнитов; 2) свеча; 3) перчатка; 4) мультиметр с термопарой; 5) кусок алюминиевой фольги; 6) зажим «крокодил» из стали. Внимание! Вам запрещается самостоятельно не только зажигать, но и тушить свечу. Это могут делать только дежурные по аудитории. Внимание! Не помещайте спай термопары непосредственно в пламя свечи! Новые термопары не выдаются.

Подсказка. Надёжные показания термопары могут быть получены лишь при обеспечении её хорошего теплового контакта с предметом, температура которого измеряется.

Часть 2. Температура Кюри гадолиния. При температуре ниже температуры \(T_c\) гадолиний является ферромагнетиком, при \(T > T_c\) это парамагнетик. Вам предлагается исследовать зависимость магнитной восприимчивости гадолиния от температуры вблизи точки Кюри.

4. Исследуйте зависимость магнитной восприимчивости \(\chi\) гадолиния (в условных единицах) от температуры в диапазоне от комнатной температуры до \(50\,^\circ\)C. В каком диапазоне температур выполняется закон Кюри–Вейса?

5. Определите, используя полученные вами результаты, температуру Кюри для гадолиния.

6. Определите погрешность измерения \(T_c\).

Оборудование для части 2: 1) большой цилиндрический магнит на деревянной подставке (нагревать его запрещается); 2) образец гадолиния; 3) весы (чтобы весы не отключались, каждые 20 секунд нажимайте на кнопку Light); 4) подставка из немагнитного металла с отверстием; 5) горячая и холодная вода (по требованию), ёмкость для воды; 6) мультиметр с термопарой; 7) прищепка; 8) миллиметровка.

▶РешениеСкрыть

Решение

Часть 1. Термопару обматывают фольгой, чтобы обеспечить хороший тепловой контакт, и зажимают крокодилом. Маленький неодимовый магнит крепят к крокодилу вблизи спая термопары. Крокодил нагревают свечой с противоположной стороны, чтобы нагрев был медленным и температура успевала установиться. При достижении температуры Кюри магнит размагничивается, перестаёт притягиваться к крокодилу и падает. Эксперимент повторяют несколько раз.

Измерения на трёх установках (по пять опытов на каждой) приведены в таблице:

Температура Кюри на каждой установке — среднее арифметическое, погрешность — по формуле случайной погрешности \(\Delta T_c = \sqrt{\dfrac{\sum_i (T_i - T_c)^2}{N(N-1)}}\), где \(N\) — число измерений. С учётом всех экспериментов \(T_c = 253 \pm 2\) °C.

Часть 2. Большой неодимовый магнит на подставке кладут на весы (предварительно тарировав их). Над магнитом помещают алюминиевую подставку с отверстием, на неё ставят сосуд с образцом гадолиния на дне. Наливают горячую воду и постепенно охлаждают её, добавляя холодную; температуру измеряют термопарой, закреплённой прищепкой на краю стакана. Масса, показываемая весами, пропорциональна силе, действующей на образец гадолиния. Так как \(p_m \propto \chi\), то \(F \propto \dfrac{1}{T - T_c}\).

Для проверки закона Кюри–Вейса и определения \(T_c\) строят график зависимости \(T\) от \(1/m\):

Точки ложатся на прямую, отклонения от закона Кюри–Вейса нельзя признать существенными во всём измеренном диапазоне температур (от комнатной до 50 °C). Температура Кюри соответствует пересечению прямой с осью температур. По МНК получаем \(T_c = 18{,}8 \pm 0{,}2\) °C.

Электромагнитная волна называется плоскополяризованной, если вектор \(\vec E\) совершает колебания в одной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью поляризации, а направление, параллельно которому колеблется вектор \(\vec E\), называется направлением поляризации. Естественный свет содержит все возможные направления поляризации. Поляризатор — это устройство, которое пропускает через себя свет только одного направления поляризации и поглощает волны с перпендикулярным направлением поляризации. Направление поляризации света, прошедшего через поляризатор, будем называть «разрешённым» направлением этого поляризатора.

Среди прозрачных оптических сред можно выделить изотропные среды, показатель преломления которых не зависит от направления поляризации световой волны, а также анизотропные, свойства которых различны для разных направлений поляризации света. В данной задаче мы будем исследовать такую анизотропную среду — плёнку «скотч».

Введём систему координат, указанную на рисунке. Обозначим символами \(n_x\) и \(n_y\) — показатели преломления для световой волны, идущей вдоль оси \(Oz\) и поляризованной вдоль осей \(Ox\), \(Oy\) соответственно. Также обозначим \(\Delta n = n_x - n_y\). Показатели преломления \(n_x\) и \(n_y\) изменяются при растяжении плёнки. В процессе производства после стадии кристаллизации из расплава плёнка является изотропной. После затвердевания плёнку растягивают сложным образом, поэтому у выданной вам плёнки \(\Delta n < 0\).

Для изучения плёнки вы будете растягивать её вдоль оси \(Ox\). Введём обозначение для относительного удлинения \(\varepsilon = \dfrac{\Delta x}{x_{\text{нач}}}\).

Оборудование: 1) катушка плёнки «скотч»; 2) система для растяжения плёнки; 3) ножницы; 4) фломастер; 5) два поляризатора на подставках, закреплённые в держателях так, что их разрешённые направления образуют угол \(45^\circ\) с вертикалью; 6) лазерная указка на подставке; 7) линейка; 8) картон для зажима плёнки; 9) фотодиод и мультиметр; 10) миллиметровая бумага для построения графика.

1. Закрепите в установке полоску плёнки горизонтально, зажмите её как показано на рисунке. Вращая ручку установки, добейтесь того, чтобы плёнка полностью выпрямилась (не провисала). По разные стороны от полоски параллельно ей расположите два поляризатора. Их разрешённые направления должны быть взаимно перпендикулярны и составлять угол \(45^\circ\) с вертикалью. Растягивайте плёнку и наблюдайте (невооружённым глазом) сквозь два поляризатора и плёнку рассеянный белый свет. Растягивайте плёнку до \(\varepsilon = 1\) и далее до разрыва. Опишите наблюдаемые эффекты (изменение цвета и интенсивности света, прошедшего через систему) в зависимости от удлинения \(\varepsilon\) плёнки.

2. Закрепите в установке новую полоску плёнки, как в пункте 1. Считая, что плотность плёнки при растяжении остаётся постоянной, исследуйте зависимость толщины \(d\) плёнки от относительного удлинения \(\varepsilon\). Толщина выданной вам (нерастянутой) плёнки \(d_0 = 25\) мкм. Проведите измерения для 5 различных значений \(\varepsilon\).

3. Соберите установку как указано в пункте 1. Закрепите в зажиме новую полоску плёнки. Направьте луч лазера сквозь плёнку и два поляризатора и измерьте зависимость интенсивности \(I\) прошедшего света (в условных единицах) от относительного удлинения \(\varepsilon\) плёнки. (Внимание!! Свет лазера поляризован). Для измерения интенсивности света используйте фотодиод, подключённый к мультиметру в режиме амперметра.

4. После прохождения электромагнитной волны через полоску плёнки между её составляющими, поляризованными вдоль осей \(Ox\) и \(Oy\), возникает дополнительная разность фаз \(\Delta\varphi = 2\pi d\,\dfrac{\Delta n}{\lambda}\). При этом интенсивность прошедшего света равна \(I = I_0 \sin^2\dfrac{\Delta\varphi}{2}\). Зависимость, снятая в пункте 3, имеет несколько минимумов. Определите, какой из них соответствует \(\Delta\varphi = 0\). Ответ обоснуйте.

5. Используя полученные ранее данные, постройте график зависимости \(\Delta n(\varepsilon)\). Считая, что разность показателей преломления \(\Delta n\) линейно зависит от удлинения плёнки \(\varepsilon\): \(\Delta n(\varepsilon) = A\varepsilon - B\), определите коэффициенты \(A\) и \(B\).

Указания: 1) длина волны лазера \(\lambda = 650\) нм; 2) считайте, что \(|\Delta n| \ll 1\) при любой деформации плёнки; 3) сила тока, протекающего через амперметр, прямо пропорциональна мощности падающего на фотодиод света.

▶РешениеСкрыть

Решение

Пункт 1. Поляризаторы располагают так, чтобы их разрешённые направления были взаимно перпендикулярны, и наблюдают скотч, растягивая его. Нерастянутый скотч выглядит жёлтым. При растяжении примерно в \(1{,}5\) раза наблюдается минимум интенсивности, при котором не проходит никакая длина волны. При дальнейшем растяжении наблюдается изменение цвета: жёлтый, красный, синий, зелёный.

Пункт 2. Измеряют длину \(L\) и ширину \(h\) скотча (расстояние между нарисованными фломастером полосами; ширину измеряют в середине растягиваемой полоски). Толщину рассчитывают в предположении постоянной плотности. Погрешность толщины \[\frac{\Delta d}{d} = \sqrt{\left(\frac{\Delta h}{h}\right)^2 + \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2}.\]

Изменение толщины скотча при растяжении лежит в пределах погрешности измерений; дальше толщину считаем постоянной и равной \(d_0\).

Пункт 3. Между скрещёнными поляризаторами измеряют интенсивность прошедшего лазерного света в зависимости от \(\varepsilon\):

На графике видны два максимума и два минимума интенсивности.

Пункт 4. В первом минимуме глазом видна темнота, а во втором — изменение цвета. Первый минимум является минимумом для всех длин волн, а второй только для красного цвета: минимумы для других длин волн появляются при других растяжениях. Положение минимума не зависит от длины волны только при \(\Delta\varphi = 0\). Следовательно, \(\Delta\varphi = 0\) при растяжении, соответствующем первому минимуму.

Пункт 5. Из условия \(I = I_0\sin^2\dfrac{\Delta\varphi}{2}\) разность фаз определяется неоднозначно, поэтому корень на каждом участке выбирают так, чтобы первый минимум соответствовал \(\Delta\varphi = 0\). Зависимость разности фаз от \(\varepsilon\):

По формуле \(\Delta\varphi = 2\pi d\,\Delta n/\lambda\) получаем зависимость \(\Delta n\) от \(\varepsilon\):

На линейном участке аппроксимация даёт \(A = 0{,}023\), \(B = 0{,}011\).

Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2017/18, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.