ВсОШ, 2017/18, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Как меняется жёсткость пружины, если изменить число её рабочих витков? Какой график, построенный по измерениям, даст одновременно \(N\) и \(k_1\)?

Ответ

\(N \approx 72\) витка (способ 2 даёт \(N = 69\));  \(k_1 = 1710 \pm 200\) Н/м (способ 2 даёт \(k_1 = 1690\) Н/м).

Решение

Способ 1. Количество витков, задействованных при растяжении, меняем, перемещая пластину, к которой крепится крючок. Обозначим \(N\) — общее количество витков в пружине, \(n\) — количество витков, на которое пружина укорочена.

Закрепим рядом линейкой пружину с грузом на штативе, а под груз поставим весы. Опуская муфту штатива, ослабляем натяжение пружины и увеличиваем нагрузку на весы. Обозначим \(M\) — показание весов, \(m_0\) — масса груза, \(F = (m_0 - M)g\) — сила натяжения пружины. При различных \(n\) снимаем зависимость длины внешней части пружины \(L\) от силы натяжения \(F\) и строим её график. Ниже представлен график \(F(L)\) для \(n = 6\), из которого получаем коэффициент жёсткости пружины, укороченной на \(n = 6\) витков: \(k_6 \approx 25{,}4\) Н/м.

Результаты для разных \(n\) приведены в таблице:

Коэффициент жёсткости пружины, состоящей из \(N - n\) витков, равен \(k_{\text{пр}} = \dfrac{k_1}{N - n}\), где \(k_1\) — коэффициент жёсткости одного витка. Откуда \[\frac{1}{k_{\text{пр}}} = \frac{N}{k_1} - \frac{n}{k_1}.\] Ниже представлен график зависимости \(1/k_{\text{пр}}\) от \(n\), который является линейной функцией. По наклону прямой определяем \(k_1 = 1710\) Н/м, а по пересечению прямой с вертикальной осью находим \(N = 0{,}042\,k_1 = 72\) витка. Случайная погрешность определения \(k_1\) составила 12 %. Получаем \(k_1 = 1710 \pm 200\) Н/м.

Способ 2. Пусть расстояние от точки крепления пружины внутри экрана до нижнего края экрана равно \(L_0\), а выступающей из экрана части пружины — \(L_1\). Одновременно с измерением зависимости \(L_1\) от силы растяжения полной пружины \(F\) определяем количество витков \(m\) на длине \(L_1\). Из пропорции \(\dfrac{L_0 + L_1}{N} = \dfrac{L_1}{m}\) получаем \[\frac{1}{m} = \frac{1}{N} + \frac{L_0}{L_1 N}.\] Линейный график в осях \(1/L_1\), \(1/m\) отсекает значение \(1/N\) на вертикальной оси. Для пружины, измеренной первым способом, вторым способом получен результат \(N = 69\). По зависимости \(L_1(F)\) определяем коэффициент жёсткости полной пружины \(k_N = 24{,}5\) Н/м, а коэффициент жёсткости одного витка \(k_1 = k_N N = 1690\) Н/м.

Подсказка

Сначала найдите коэффициент теплоотдачи пикнометра по остыванию чистой воды, затем сравните остывание сиропа при той же температуре.

Ответ

\(c_{\text{р}} = 3000 \pm 300\) Дж/(кг\(\cdot\)°C).

Решение

Определим коэффициент теплоотдачи пикнометра, заполненного водой до 50 мл. Для этого заливаем в пикнометр горячую воду, помещаем в центральную часть объёма пикнометра термопару и снимаем зависимость температуры воды от времени. Количество теплоты \(\Delta Q\), отданное заполненным пикнометром в окружающую среду за время \(\Delta\tau\), из уравнения теплового баланса равно \[\Delta Q = (c_{\text{в}}m_{\text{в}} + c_{\text{с}}m_{\text{с}})\,\Delta t = \alpha(t - t_0)\,\Delta\tau,\] где \(c_{\text{в}}\) — удельная теплоёмкость воды, \(m_{\text{в}}\) — масса воды, \(c_{\text{с}}\) — удельная теплоёмкость лабораторного стекла, \(m_{\text{с}}\) — масса пикнометра, \(t_0\) — температура воздуха в комнате. Учитывать теплоёмкость пикнометра можно будет оценить на заключительном этапе решения.

Таблица и график зависимости температуры воды от времени приведены ниже (для наглядности при построении графика из измеренных значений температуры вычтены 40 °C). Проведя касательную к графику, находим скорость изменения температуры воды при любой интересующей нас температуре. Вычисления проведены при температуре 52 °C. Комнатная температура 20 °C.

Для скорости изменения температуры пикнометра с водой получено \(\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{\text{в}} = 0{,}017\) °C/с, а для коэффициента \(\alpha = 0{,}12\) Вт/°C. Для воды \[\alpha = \left(\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{\text{в}} \frac{c_{\text{в}}m_{\text{в}} + c_{\text{с}}m_{\text{с}}}{t - t_0}.\]

Далее приготовим 50 %-ный раствор сахара (сироп): в стакан с «носиком» насыпем 50 г сахарного песка и нальём 50 г воды. Смесь тщательно перемешиваем до полного растворения сахара. Перельём сироп в пикнометр до отметки 50 мл и определим массу 50 мл раствора: \(61{,}1 \pm 0{,}1\) г. Таким образом, плотность сиропа \(\rho = 1{,}22\) г/см\(^3\).

Подогреем сироп в пикнометре до температуры на 5–10 °C больше, чем температура, на которой проводился расчёт коэффициента теплоотдачи для чистой воды. Снимаем зависимость температуры содержимого пикнометра от времени (сплошная линия на графике). Из графика по наклону касательной находим скорость остывания пикнометра с сиропом \(\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{\text{р}}\) при 52 °C. Скорости остывания пикнометра с чистой водой и с сиропом практически одинаковы.

Уравнение теплового баланса для сиропа имеет вид \(\Delta Q = (c_{\text{р}}m_{\text{р}} + c_{\text{с}}m_{\text{с}})\,\Delta t = \alpha(t - t_0)\,\Delta\tau\). Если скорости остывания с водой и с сиропом определены при одинаковой температуре, удельную теплоёмкость сиропа находим из выражения \[c_{\text{р}}m_{\text{р}} + c_{\text{с}}m_{\text{с}} = \frac{\alpha(t - t_0)}{\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{\text{р}}} = (c_{\text{в}}m_{\text{в}} + c_{\text{с}}m_{\text{с}}) \frac{\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{\text{в}}}{\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{\text{р}}}.\] Оценка показывает, что второе слагаемое, учитывающее теплоёмкость стекла пикнометра, не превышает \(1{,}5\,\%\) от первого слагаемого, поэтому теплоёмкость пикнометра не учитываем.

Окончательно получаем \(c_{\text{р}} = 3000 \pm 300\) Дж/(кг\(\cdot\)°C). Основная погрешность обусловлена точностью определения скорости остывания по экспериментальной кривой графическим методом (около 5 %); так как в итоговое выражение входит отношение двух скоростей остывания, погрешность \(c_{\text{р}}\) составляет 10 %. Основное отличие экспериментальной теплоёмкости сиропа от теплоёмкости чистой воды при практически одинаковых скоростях остывания обусловлено существенным отличием массы 50 мл сиропа от массы 50 мл воды.