ВсОШ, 2018/19, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Плотность найдите гидростатическим взвешиванием: по изменению веса микропробирки с водой при полном погружении порции металла. Для теплоты кристаллизации используйте участок остывания жидкой фазы, где металл кристаллизуется при постоянной температуре.

Ответ

1) \(\rho = (5{,}8 \pm 0{,}6)\) г/см\(^3\);  2) \(t_{\text{пл}} = (29 \pm 2)\) \(^\circ\)C;  3) \(\lambda = (74 \pm 8)\) кДж/кг.

Решение

Изготовим из проволоки держатель для микропробирок.

Для определения плотности металла взвесим его порцию (далее приведены цифры для одного случайно выбранного образца) \(m = 1{,}98\) г. Так как погрешность весов составляет 3 знака последнего разряда, то масса определена с точностью \(1{,}5\%\). Затем найдем изменение веса микропробирки с водой при полном погружении в нее порции металла и вычислим объем \(V\) порции (гидростатическое взвешивание): \(V = 0{,}34\) см\(^3\) (погрешность 10%), следовательно, \(\rho = \dfrac{m}{V} = (5{,}8 \pm 0{,}6)\) г/см\(^3\). Табличная плотность данного металла (галлий) \(\rho_{\text{т}} = 5{,}90\) г/см\(^3\).

Для определения тепловых параметров образца исследуем зависимость температуры его расплава от времени в процессе остывания и последующей кристаллизации. Поместим порцию металла в микропробирку с держателем и опустим ее на \(5\)–\(7\) мин в стакан с горячей водой при температуре не ниже \(65^\circ\)C. После окончания плавления вынем пробирку из горячей воды и установим на столе в проволочном держателе. С этого момента начнем снимать зависимость температуры \(t\) расплава от времени \(\tau\). Результаты измерений представлены в таблице 1.

После охлаждения металла почти до комнатной температуры (на \(1\)–\(2\) градуса выше) он остается в жидком состоянии. Бросим в расплав микропорцию твердой фазы металла. Очень быстро (за несколько секунд) температура в пробирке достигнет значения \(28\)–\(30^\circ\)C и остается неизменной в течение примерно \(\tau_{\text{к}} = 40\)–\(60\) мин, а затем постепенно начнет снижаться до комнатной. Следовательно, температура кристаллизации данного вещества равна \(t_{\text{пл}} = (29 \pm 2)^\circ\)C.

При охлаждении металл остывает на \(\Delta t\) градусов за \(\Delta\tau\) секунд, следовательно \(Q = mC\Delta t = \alpha\Delta\tau\), где \(\alpha\) — коэффициент теплоотдачи. При кристаллизации \(\lambda m = \alpha\tau_{\text{к}}\), где \(\lambda\) — удельная теплота кристаллизации. Из этих двух уравнений \[\lambda = \frac{C\,\Delta t\,\tau_{\text{к}}}{\Delta\tau}.\] Для расчета \(\lambda\) не нужно знать массу и коэффициент теплоотдачи. Достаточно найти скорость остывания порции металла при температуре, примерно равной температуре кристаллизации, \(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\). Эту величину определим с помощью графика (рис. 42), построенного для последних \(8\)–\(9\) точек таблицы 1.

По угловому коэффициенту наклона \(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau} = (0{,}10 \pm 0{,}01)\) \(^\circ\)C/с получим \(\lambda = (74 \pm 8)\) кДж/кг (табличное значение \(\lambda\) для галлия 80 кДж/кг).

Подсказка

Чтобы убрать влияние трения, можно добиться, чтобы подвижный магнит оставался в равновесии, а сила, прижимающая его, равна отталкиванию. Для проверки степенной зависимости перестройте график в координатах, где он становится линейным.

Ответ

1) график \(F(x)\) (см. решение);  2) \(\beta = 2\), \(k = (2{,}7 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-5}\) Н\(\cdot\)м\(^2\);  3) \(F_{\text{тр}} = (11 \pm 2)\) мН, \(\mu = 0{,}37 \pm 0{,}02\).

Решение

Примечание: численные результаты, полученные на различных комплектах оборудования, могут отличаться друг от друга.

Фиксируем желоб в штативе под одним из двух возможных углов и кладем в него магнит так, чтобы он отталкивался от второго закрепленного. Влияние силы трения, действующей на подвижный магнит, устраняем легкими постукиваниями по желобу, в результате которых магнит слегка подпрыгивает и силы нормальной реакции и трения обращаются в ноль. Измеряем расстояние \(x\) между ближайшими торцами магнитов, на котором подвижный магнит остается в равновесии. Для проверки воспроизводимости измерения проводим трехкратно.

Повторяем эксперимент несколько раз для других сил, прижимающих магниты друг к другу, нагружая подвижный сверху разными комбинациями латунных стержней. Всего удается получить 7 различных значений силы при одном наклоне желоба. В таблице 2 приведены результаты измерений для углов наклона \(\sin\alpha_1 = 0{,}74\) и \(\sin\alpha_2 = 0{,}61\). Прижимающая магниты сила рассчитывается по формуле \(F = mg\sin\alpha\).

На рис. 43 представлен график полученной зависимости \(F\) от \(x\).

Для проверки характера зависимости \(F = \alpha x^{-\beta}\) перестраиваем ее в осях \(F(x^{-1})\) (рис. 44) и \(F(x^{-2})\) (рис. 45). В последнем случае график оказывается ближе к линейному, из чего делаем вывод, что \(\beta \approx 2\), а \(k = (2{,}7 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-5}\) Н\(\cdot\)м\(^2\). Заметим, что исследование зависимости с помощью графика, построенного в логарифмическом масштабе (что не требовалось от участников), дает значение показателя степени \(\beta \approx 2{,}6\).

Для определения силы трения, действующей со стороны мерной ленты в горизонтальном положении желоба, приблизим подвижный магнит к закрепленному на расстояние \(X\) и отпустим его. Из теоремы об изменении кинетической энергии получим \(F_{\text{тр}} L + A = 0\), где \(L\) — расстояние, на которое сместился подвижный магнит, а \(A\) — работа силы отталкивания, пропорциональная площади под графиком \(F(x)\) на участке от \(X\) до \(X+L\). Необходимо проверить воспроизводимость результатов при проведении этого эксперимента на разных участках мерной ленты. Получаем \(F_{\text{тр}} = (11 \pm 2)\) мН. Силу трения также можно найти, определяя границу области «застоя» подвижного магнита в поле неподвижного, интерполируя полученную зависимость \(F(x)\).

Коэффициент трения рассчитываем по формуле \[\mu = \frac{F_{\text{тр}}}{\sqrt{2}\, m_{\text{м}}\, g} = 0{,}37 \pm 0{,}02.\]