ВсОШ, 2019/20, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Наберите воду из только что открытой бутылки в шприц и встряхните его: растворённый газ выделится и соберётся над водой под поршнем. Уравнение состояния газа над водой и закон Генри связывают объём выделившегося газа с давлением в бутылке.

Ответ

1) \(P_{бут} \approx 2{,}7\cdot 10^5\) Па;  2) \(\alpha \approx 3{,}6\cdot 10^{-4}\) моль/(Па\(\cdot\)м\(^3\)), что соответствует данному в условии значению в пределах погрешности.

Решение

Часть 1. Откроем бутылку и аккуратно наберём из неё некоторое количество газировки (около \(5\) мл) в пустой шприц. Сразу же заткнём кончик шприца затычкой. Поскольку бутылка только что открыта, концентрация растворённого в ней углекислого газа соответствует давлению внутри бутылки (концентрация изменяется медленно). Теперь будем трясти шприц, помогая растворённому газу перейти в газообразное состояние; поршень шприца должен свободно перемещаться, обеспечивая равенство давления внутри шприца атмосферному. Спустя некоторое время (около \(10\) мин) концентрация растворённого углекислого газа придёт в соответствие атмосферному давлению, а его газообразные излишки соберутся над водой.

Для воды в бутылке \(\nu_0 = \alpha V_в P_{бут}\), где \(V_в\) — объём воды, набранной в шприц, \(P_{бут}\) — давление газа в бутылке, \(\nu_0\) — количество газа, растворённого в воде внутри бутылки. Для воды в шприце после достижения равновесия \(\nu_0 - \nu_г = \alpha V_в P_0\), где \(\nu_г\) — количество нерастворённого углекислого газа в шприце. Уравнение состояния идеального газа: \(P_0 V_г = \nu_г R T\), где \(V_г\) — объём нерастворённого газа в шприце. Отсюда \[P_{бут} = P_0\left(1 + \frac{V_г}{\alpha V_в R T}\right).\] Измерения: \(V_в = 4\) мл, \(V_г = 6\) мл. Тогда \[P_{бут} = 10^5\left(1 + \frac{6}{3{,}5\cdot 10^{-4}\cdot 4\cdot 8{,}31\cdot 300}\right) \approx 2{,}7\cdot 10^5~\text{Па}.\]

Часть 2. Для получения дополнительных точек зависимости количества растворённого газа от давления будем внутри шприца создавать другие давления (содержимое шприца осталось от первого эксперимента). Придерживая наконечник шприца, надавим на поршень с заметным усилием и будем потряхивать шприц около \(10\) мин, добиваясь равновесной концентрации растворённого газа. Затем определим объём, занимаемый газом, продолжая давить на поршень: \(V_г'\). Аккуратно отпустим поршень и сразу измерим объём газа под поршнем: \(V_г\). Так как между замерами \(V_г'\) и \(V_г\) прошло мало времени, концентрация растворённого в воде газа не успела измениться. Давление газа под сжатым поршнем получаем из уравнения состояния: \(P = P_0\dfrac{V_г}{V_г'}\).

По закону Генри \(\nu = \alpha V_в P\), тогда \(\Delta\nu = \alpha V_в \Delta P\). Для нашего опыта \(\Delta P = P - P_0 = P_0\left(\dfrac{V_г}{V_г'} - 1\right)\), а \(\Delta\nu = -\Delta\nu_г = -\dfrac{P_0 (V_г - V_{г0})}{RT}\), где \(V_{г0}\) — объём газа под поршнем при атмосферном давлении и при концентрации растворённого газа, соответствующей атмосферному давлению. Подставив в закон Генри, получим \[\frac{V_г}{V_в} = \alpha R T\left(1 - \frac{V_г}{V_г'}\right) + V_{г0}, \qquad V_г = -\alpha R T V_в\,\frac{V_г}{V_г'} + \text{const}.\] Проведём аналогичный опыт, только теперь будем вытягивать поршень шприца, создавая под ним давление меньше атмосферного. Построим график зависимости \(V_г\) от \(V_г/V_г'\) для трёх точек (атмосферному давлению соответствует точка \((V_{г0}; 0)\)).

Точки на графике лежат на прямой (см. рисунок), угловой коэффициент которой \(k = -3{,}58\) мл.

Из полученной теоретической зависимости \[\alpha = -\frac{k}{V_в R T} = \frac{3{,}58}{4\cdot 8{,}31\cdot 300}\ \frac{\text{моль}}{\text{Па}\cdot\text{м}^3} \approx 3{,}6\cdot 10^{-4}~\frac{\text{моль}}{\text{Па}\cdot\text{м}^3}.\] Оценим погрешность. Погрешность коэффициента \(k\) определим из графика по разности между минимальным и максимальным угловыми коэффициентами: \(\Delta k = \dfrac{8{,}2 - 2{,}7}{2} = 2{,}7\) мл. Относительная погрешность \(\varepsilon_\alpha = \dfrac{\Delta k}{k} + \dfrac{\Delta V_в}{V_в} = 87\,\%\). Учитывая теоретическую погрешность \(\alpha\), можно утверждать, что теоретическое значение соответствует экспериментальному.

Подсказка

Пшено в коробочке занимает форму параллелепипеда; найдите его объём через угол опрокидывания коробочки, а число зёрен — через объём одного зерна и плотность упаковки.

Ответ

\(N_ш = (2{,}0 \pm 0{,}5)\cdot 10^5\).

Решение

1. Опыты с прозрачной коробочкой показывают, что пшено, являясь сыпучим веществом, при наклоне коробочки до некоторого угла сохраняет занимаемую им форму, а после превышения предельного угла лавинообразно пересыпается. Если установить коробочку под некоторым углом и интенсивно постучать по боковым стенкам, создав вибрацию, поверхность пшена оказывается параллельна горизонту. Если же стучать по коробочке вертикально, поверхность пшена не всегда оказывается параллельна горизонту.

2. Расположим непрозрачную коробочку вертикально и постучим по её боковым стенкам; пшено примет форму параллелепипеда. Установим коробочку на линейку и будем плавно увеличивать угол наклона линейки к горизонту. Нужен угол, при котором коробочка начнёт переворачиваться. Коробочка начинает соскальзывать с линейки раньше, чем переворачивается, так как трения о линейку недостаточно. Для решения проблемы прицепим к линейке скрепку так, чтобы она образовала небольшой упор. Так как скрепка тонкая, созданный ею упор не повлияет на моменты сил, но позволит коробочке не соскальзывать.

3. Повторим опыт с наклоном плоскости и убедимся, что коробочка начинает переворачиваться до того, как пшено внутри неё начинает пересыпаться. Это можно понять по звуку (когда пшено пересыпается, это слышно) или, использовав прозрачную коробочку, наклонив её на такой же угол. Для угла \(\alpha_1\), при котором начинается переворот коробочки, из уравнения моментов сил относительно правого нижнего угла коробочки получим \(h_{цм} = \dfrac{l}{2}\,\mathrm{ctg}\,\alpha_1\). Тогда уровень пшена в коробочке составляет \(h = 2h_{цм} = l\,\mathrm{ctg}\,\alpha_1\). Измерим ширину \(l = 47\) мм и глубину \(b = 39\) мм коробочки. Угол \(\alpha_1\) определяем через высоту конца линейки над столом \(H\) и длину линейки \(L = 25\) см. Для повышения точности опыты проводим несколько раз, увеличивая угол наклона плавно и медленно.

Результаты: \(H = 11{,}1\) см, \(\sin\alpha_1 = 0{,}430\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha_1 = 2{,}10\); \(H = 10{,}6\) см, \(\sin\alpha_1 = 0{,}411\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha_1 = 2{,}22\); \(H = 10{,}8\) см, \(\sin\alpha_1 = 0{,}419\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha_1 = 2{,}17\). Среднее: \(\mathrm{ctg}\,\alpha_{1ср} = 2{,}16\), и \(h = l\cdot\mathrm{ctg}\,\alpha_{1ср} = 10{,}2\) см.

4. Объём, занимаемый пшеном в коробке: \(V = l b h = 4{,}7\cdot 3{,}9\cdot 10{,}2 \approx 187\) см\(^3\).

5. Чтобы узнать, сколько шариков входит в этот объём, есть два варианта: 1) измерить объём, занимаемый пшеном в прозрачной коробочке, и посчитать количество шариков (крупинок) в ней; 2) определить диаметр шарика и рассчитать плотность упаковки. Выберем второй путь.

6. Для измерения диаметра шарика выложим \(50\) шариков в ряд и измерим длину ряда (ряд формируем, согнув миллиметровку и насыпав шарики в место сгиба): \(L_р = 10{,}9\) см, \(N = 50\), тогда диаметр шарика \(D = \dfrac{L_р}{N} = 2{,}18\) мм, объём одного шарика \(V_ш = \dfrac{\pi}{6}D^3 \approx 0{,}54\) мм\(^3\).

7. Рассмотрим варианты плотной упаковки. Плотность упаковки \(k = \dfrac{V_0}{V_я}\), где \(V_0 = NV_ш\) — объём, занимаемый зёрнами, \(N\) — число зёрен, приходящихся на одну ячейку, \(V_я = a^3\) — объём ячейки. Объёмно-центрированная кубическая решётка: \(a\sqrt{3} = 2D\), \(N = 2\), \(k = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}68\). Гранецентрированная решётка: \(a\sqrt{2} = 2D\), \(N = 4\), \(k = \dfrac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}74\). Стандартная кубическая решётка: \(a = D\), \(N = 1\), \(k = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}52\). Опыт, проведённый с заполнением пустот между зёрнами водой, показывает, что в реальности \(k = 0{,}62\).

8. Примем \(k = 0{,}6\). Объём, занимаемый одним зёрнышком, \(V_ш' = \dfrac{V_ш}{k} \approx 0{,}90\) мм\(^3\).

9. Количество шариков \(N_ш = \dfrac{V}{V_ш'} \approx 2\cdot 10^5\).

10. Оценка погрешности: \(\Delta\,\mathrm{ctg}\,\alpha_{1ср} = \dfrac{\sum|\mathrm{ctg}\,\alpha_i - \mathrm{ctg}\,\alpha_{ср}|}{3} = 0{,}04\); \(\Delta D = \dfrac{2\text{~мм}}{N} = 0{,}04\) мм; \(\Delta k = 0{,}1\). Относительная погрешность \(\varepsilon_{N_ш} = 3\dfrac{\Delta D}{D} + \dfrac{\Delta k}{k} + \dfrac{\Delta l}{l} + \dfrac{\Delta b}{b} \approx 0{,}27\), откуда \(\Delta N_ш \approx 0{,}5\cdot 10^5\). Окончательно: \(N_ш = (2{,}0 \pm 0{,}5)\cdot 10^5\).