ВсОШ, 2019/20, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Рассмотрите провод с линейкой как рычаг: найдите отношение масс металла и изоляции по двум положениям равновесия. Затем подвешивайте к изоляции шприц с водой и линеаризуйте зависимость длины изоляции от массы воды.

Ответ

\(m_м = 12{,}44\) г, \(V_м = 1{,}46\) см\(^3\), \(\rho_м = 8{,}52\) г/см\(^3\);  \(m_и = 2{,}14\) г, \(V_и = 1{,}55\) см\(^3\), \(\rho_и = 1{,}38\) г/см\(^3\).

Решение

1. Отношение масс \(\alpha = m_м/m_и\) определяем по правилу моментов. Центр тяжести системы провод — изоляция кладём на край линейки в двух положениях провода и измеряем расстояния \(y_1\), \(y_2\), \(y_3\):

Из правила моментов получаем \[\alpha_1 = \frac{L}{4y_1} - 1, \qquad \alpha_2 = \frac{\frac{3}{4}L - y_2}{y_2 - \frac{L}{2}}, \qquad \alpha_3 = \frac{y_3 - \frac{L}{4}}{\frac{L}{2} - y_3}.\] При \(y_1 = 22\) мм, \(y_2 = 323\) мм, \(y_3 = 279\) мм получаем \(\alpha_1 = 5{,}82\), \(\alpha_2 = 5{,}52\), \(\alpha_3 = 6{,}14\), среднее \(\alpha = 5{,}83\).

2. На край изоляции подвешиваем шприц с водой (масса пустого шприца \(m_0\), масса воды \(m_в\)). Уравнение моментов для системы провод — шприц:

\[\frac{4X}{L} = \frac{m_и + 2m_0 + 2m_в}{m_м + m_и + m_0 + m_в}.\] Здесь \(X\) — длина изоляции, расположенная левее центра тяжести системы. Зависимость \(X(m_в)\) нелинейна, поэтому линеаризуем её: берём обратные величины и вводим \(Z = \dfrac{1}{2 - 4X/L}\). Получаем \[Z = \frac{m_м + m_и + m_0}{2m_м + m_и} + \frac{m_в}{2m_м + m_и}.\] Измерения \(m_в\) от 0 до 5 г дали \(X\) от 80 до 127 мм (значения \(Z\) от \(0{,}68\) до \(0{,}87\)). По графику \(Z(m_в)\) и с учётом \(\alpha\) находим \(m_и = 2{,}14\) г, \(m_м = 12{,}44\) г. Непосредственное взвешивание разделённых частей дало \(m_и = 2{,}09\) г, \(m_м = 12{,}57\) г.

3. Объёмы определяем по объёму воды в гибкой трубке (шприцем 1 мл). Измерено: объём воды в пустой трубке \(V_т = 2{,}65\) см\(^3\); в трубке с металлической частью провода длиной \(L/2\) \(V_{тм} = 1{,}92\) см\(^3\); в трубке с проводом в изоляции длиной \(L/2\) \(V_{ти} = 0{,}37\) см\(^3\). Отсюда \[V_м = 2\,(V_т - V_{тм}) = 1{,}46~\text{см}^3, \qquad V_{и\,вн} = V_т - V_{ти} = 2{,}28~\text{см}^3,\] \[V_и = V_{и\,вн} - \tfrac{1}{2}V_м = 1{,}55~\text{см}^3.\]

4. Плотности: \[\rho_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{12{,}44}{1{,}46} \approx 8{,}52~\text{г/см}^3, \qquad \rho_и = \frac{m_и}{V_и} = \frac{2{,}14}{1{,}55} \approx 1{,}38~\text{г/см}^3.\] Плотность меди близка к табличной; гидростатическое взвешивание даёт для изоляции \(\rho_и = 1{,}33\) г/см\(^3\).

Подсказка

Включите амперметр в делитель напряжения, образованный частью магазина и источником, и запишите ток через амперметр как функцию сопротивления \(R_x\) остальной цепи. Какая величина линейна по \(R_x\)?

Ответ

\(R_{A1} \approx 1{,}4\) Ом (200 мА);  \(R_{A2} \approx 10{,}0\) Ом (20 мА);  \(R_{A3} \approx 98\) Ом (2000 мкА).

Решение

1. Омметром измеряем сопротивления резисторов в ящике: \(R_1 = 5\) Ом, \(R_2 = 10\) Ом, \(R_3 = 20\) Ом, \(R_4 = 40\) Ом, \(R_5 = 80\) Ом. Вольтметром измеряем напряжение источника \(U_0 = 1{,}55\) В.

2. Амперметр подключаем к контактам \(B\) и \(C\), а контакт \(A\) соединяем с одним из контактов \(D\)–\(G\). Так амперметр оказывается подключён к делителю напряжения:

3. Обозначим внутреннее сопротивление амперметра \(R_A\) и \(R_x\) — сопротивление участка цепи, при котором измеряем ток \(I\). Тогда \[I = \frac{U_0 R_1}{R_x R_1 + R_x R_A + R_1 R_A},\] или \[\frac{1}{I} = \frac{R_1 + R_A}{U_0 R_1}\,R_x + \frac{R_A}{U_0}.\] Величина \(1/I\) линейно зависит от \(R_x\).

4. Устанавливаем предел 20 мА и замыканием проводом различных комбинаций контактов ящика снимаем зависимость \(I(R_x)\). Результаты: \[R_x = 150,\ 130,\ 110,\ 90,\ 80,\ 70,\ 50~\text{Ом}; \quad I = 3{,}35;\ 3{,}88;\ 4{,}60;\ 5{,}52;\ 6{,}18;\ 7{,}11;\ 9{,}77~\text{мА}; \quad \frac{1}{I} = 299,\ 258,\ 217,\ 181,\ 162,\ 141,\ 102~\text{А}^{-1}.\]

5. График \(1/I(R_x)\):

По наклону прямой \[\frac{R_1 + R_A}{U_0 R_1} = \frac{\Delta(1/I)}{\Delta R_x} = 1{,}94~\text{В}^{-1}\] находим \(R_A = 10{,}0\) Ом (предел 20 мА). Определять \(R_A\) нужно по наклону прямой, а не по точке пересечения с осью, так как эта точка близка к нулю.

6. Аналогично на пределе 2 мА получаем \(R_A = 98\) Ом, а на пределе 200 мА \(R_A = 1{,}4\) Ом. В последнем случае сопротивление амперметра сравнимо с внутренним сопротивлением батарейки (порядка \(0{,}5\) Ом), поэтому её при точном определении нельзя считать идеальной. Один делитель напряжения можно использовать для всех трёх пределов: на 2 мА через амперметр течёт около 5% общего тока, на 20 мА — около 33%, на 200 мА — порядка 75–80%.