ВсОШ, 2021/22, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сравните напряжения между парами выводов. Если бы между выводами \(A\) и \(B\) был резистор почти нулевого сопротивления, два других напряжения совпадали бы. Для схемы «звезда» напряжение между \(A\) и \(B\) равно нулю, если источник подключён к выводу \(C\).

Ответ

1) «звезда»;  2) \(C\to 1\), \(A\to 2\), \(B\to 3\);  3) для приборов серии 830: \(\mathcal{E} \approx 19{,}3\) В, \(r \approx 512\) кОм, \(R \approx 1{,}82\) МОм; для приборов серий 832 и 838: \(\mathcal{E} \approx 19{,}7\) В, \(r \approx 520\) кОм, \(R \approx 1{,}8\) МОм.

Решение

Внимание! Все измеренные значения приведены для авторской установки.

1. Измерим напряжения между выводами: \(U_{AB} = 0{,}0\) В, \(U_{AC} = 12{,}73\) В, \(U_{BC} = 6{,}82\) В. Если бы элементы были соединены «треугольником», между выводами \(A\) и \(B\) стоял бы резистор практически нулевого сопротивления. Тогда два других напряжения должны совпадать (или быть очень близкими), что не наблюдается. Значит, элементы соединены «звездой» или «цепочкой».

2. Предположим, что элементы соединены «звездой». Так как напряжение между выводами \(A\) и \(B\) равно нулю, источник подключён к выводу \(C\) (\(C\to 1\)). Напряжение между \(A\) и \(C\) больше, следовательно, резистор, подключённый к выводу \(A\), имеет меньшее сопротивление (\(A\to 2\)). Соответственно, \(B\to 3\).

3. Различие между значениями \(U_{AC}\) и \(U_{BC}\) показывает, что внутренним сопротивлением вольтметра пренебречь нельзя. Кроме того, омметр даже в режиме \(2\) МОм, подключённый к выводам \(A\) и \(B\) (2 и 3), «зашкаливает», что говорит о том, что \(r + R > 2\) МОм.

Вариант 1. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока \(200\) мкА (серия 830).

4. Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел \(200\) мкА) и измерим силу тока между всеми парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 37{,}7\) мкА, \(I_{BC} = 10{,}6\) мкА.

5. Пусть \(R_V\) — сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + r}, \qquad U_{BC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + R}.\] С другой стороны, \(\mathcal{E} = I_{AC}\,r = I_{BC}\,R\). Отсюда \[\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{37{,}7}{10{,}6} = 3{,}56, \qquad \frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87.\]

Получаем \(R_V + 3{,}56\,r = 1{,}87\,R_V + 1{,}87\,r\), откуда \(r = 0{,}514\,R_V\). Подставим найденное значение: \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}514} \quad\Rightarrow\quad \mathcal{E} = 1{,}514\,U_{AC} = 1{,}514 \cdot 12{,}73~\text{В} \approx 19{,}3~\text{В}.\] \[r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}3~\text{В}}{37{,}7~\text{мкА}} = 512~\text{кОм}, \qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}3~\text{В}}{10{,}6~\text{мкА}} = 1{,}82~\text{МОм}.\]

Вариант 2. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока \(2000\) мкА (серии 832 и 838).

4. Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел \(2000\) мкА) и измерим силу тока между всеми парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 38\) мкА, \(I_{BC} = 11\) мкА.

5. Аналогично варианту 1, \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{38}{11} = 3{,}45\) и \(\dfrac{R_V + R}{R_V + r} = \dfrac{12{,}7}{6{,}82} = 1{,}87\), откуда \(r = 0{,}55\,R_V\). Тогда \(\mathcal{E} = 1{,}55\,U_{AC} = 1{,}55 \cdot 12{,}73~\text{В} \approx 19{,}7\) В, \(r = \dfrac{19{,}7~\text{В}}{38~\text{мкА}} = 520\) кОм, \(R = \dfrac{19{,}7~\text{В}}{11~\text{мкА}} = 1{,}8\) МОм.

6. Теперь предположим, что внутри ящика элементы соединены «цепочкой». В этом случае результаты измерения напряжения дают то же соответствие (\(C\to 1\), \(A\to 2\), \(B\to 3\)), так как сумма сопротивлений между выводами \(A\) и \(B\) всегда больше \(r\).

7. Для соединения «цепочкой» все приведённые выше формулы остаются справедливыми с точностью до замены \(R \to r + R\). Отсюда для варианта 1 получаем \(r = 511\) кОм, \(r + R = 1{,}82\) МОм, то есть \(R = 1{,}31\) МОм. Однако, как сказано выше, омметр, подключённый к выводам 2 и 3, зашкаливает, хотя для соединения цепочкой он должен показывать значение \(R\).

8. Полученное противоречие говорит о том, что внутри ящика элементы соединены «звездой».

Вычисленные значения: вариант 1 — \(\mathcal{E} = 19{,}3\) В, \(r = 512\) кОм, \(R = 1{,}82\) МОм; вариант 2 — \(\mathcal{E} = 19{,}7\) В, \(r = 520\) кОм, \(R = 1{,}82\) МОм.

9. Примечание: значения, измеренные напрямую в авторской установке: \(\mathcal{E} = 19{,}20\) В, \(r = 507\) кОм, \(R = 1{,}8\) МОм.

10. Общие формулы (их вывод от участников олимпиады не требуется): \[\mathcal{E} = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC}}, \quad r = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{AC}\,(I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC})}, \quad R = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{BC}\,(I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC})}.\]

Подсказка

Сравните периоды колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Когда гайка возвращается в исходную плоскость, число колебаний в одной плоскости отличается от числа колебаний в другой на единицу.

Ответ

\(\alpha \approx 1{,}57\), \(\beta \approx -0{,}94\) (теория: \(\alpha = 1{,}5\), \(\beta = -1\), \(A = \dfrac{4\pi}{\sqrt{g}}\)).

Решение

Экспериментальные результаты и их обработка.

1) За время \(t_1 = 45{,}9\) с маятник совершил \(n_1 = 30\) колебаний. Тогда \(T_1 = t_1/n_1 = 1{,}530\) с.

2) За время \(t_2 = 63{,}4\) с маятник совершил \(n_2 = 40\) колебаний. Тогда \(T_2 = t_2/n_2 = 1{,}585\) с.

3) Полный поворот плоскости колебаний маятника произошёл за время \(\tau = 63{,}0\) с.

Примечание. По теоретическим выкладкам должно выполняться равенство \(\tau = \dfrac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}\). Расхождение времени \(\tau\), подсчитанного по этой формуле, и непосредственно измеренного указывает на то, что точность измерения периодов \(T_1\) и \(T_2\) должна быть больше.

4) Результаты измерений зависимости \(\tau(\Delta L)\) при \(L = 60\) см представлены в табл. 1.

5) Результаты измерений зависимости \(\tau(L)\) при \(\Delta L = 2{,}6\) см представлены в табл. 2.

6) Используя график \(\ln\tau\) от \(\ln\Delta L\) (рис. 2), определим показатель \(\beta \approx -0{,}94\), а из углового коэффициента графика \(\ln\tau\) от \(\ln L\) (рис. 3) находим показатель \(\alpha \approx 1{,}57\).

7) Теоретическое описание. Движение груза (гайки) является суперпозицией колебаний во взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях: плоскости \(P\) (в ней расположены нити с грузом) и плоскости \(R\) (она перпендикулярна краю стола и плоскости \(P\)). В плоскости \(P\) период колебаний \(T_P = 2\pi\sqrt{L/g}\). В плоскости \(R\) период равен \(T_R = 2\pi\sqrt{(L+\Delta L)/g}\). В начале колебаний траектория груза близка к прямолинейной, фаза колебаний равна 0. С течением времени колебания в плоскости \(R\) отстают по фазе от колебаний в плоскости \(P\). При этом траектория становится эллиптической, затем близка к круговой (в этот момент отставание по фазе равно \(\pi/2\)), и снова становится прямолинейной (отставание по фазе равно \(\pi\)). К моменту завершения цикла разность фаз равна \(2\pi\), то есть числа полных колебаний в перпендикулярных плоскостях отличаются на 1 (\(n\) полных колебаний в плоскости \(R\) и \((n+1)\) — число полных колебаний в плоскости \(P\)): \[\tau = 2\pi(n+1)\sqrt{L/g}, \qquad \tau = 2\pi n\sqrt{(L+\Delta L)/g}.\] Отсюда \[\sqrt{\frac{L+\Delta L}{L}} = \frac{n+1}{n}.\] Учитывая, что \(\dfrac{\Delta L}{L} \ll 1\), получаем \[\sqrt{\frac{L+\Delta L}{L}} \approx 1 + \frac{\Delta L}{2L} = 1 + \frac{1}{n}.\] Тогда число полных колебаний в плоскости \(S\) до завершения цикла \(n \approx \dfrac{2L}{\Delta L}\), а для времени \(\tau\) получаем \[\tau = 2\pi n\sqrt{\frac{L+\Delta L}{g}} \approx \frac{4\pi}{\sqrt{g}}\,L^{1{,}5}\,\Delta L^{-1}.\] Полученные экспериментально значения \(\alpha\) и \(\beta\) хорошо согласуются с теоретическими.