зад 1 Полёт с препятствием
Оборудование: металлический стержень с неодимовым магнитом на одном и подшипником на другом конце; штатив с лапкой; платформа с пятью проводящими пластинами одинаковой толщины и ширины \(b\), но различной длины \(a\); две измерительные стойки с линейками.
В данной задаче вам предлагается изучить взаимодействие движущегося постоянного магнита с тонкими проводящими пластинками, намагничиваемостью которых можно пренебречь. Для этого используется экспериментальная установка, схематично представленная на рис. 1. К горизонтальной оси на подшипнике прикреплён стержень с постоянным магнитом на конце. В положении равновесия системы под магнитом на небольшом расстоянии от него располагается тонкая проводящая пластинка. В ходе эксперимента исследуется изменение высоты магнита при максимальном отклонении стержня от положения равновесия после его однократного прохождения над пластинкой. Движение магнита происходит в плоскости, параллельной стороне \(a\) (рис. 1).
Силами сопротивления воздуха и трения в подшипнике можно пренебречь, как и размерами магнита по сравнению с размерами стержня. Основное взаимодействие магнита с пластинкой происходит на участке порядка размера пластинки, на котором мощностью силы тяжести также можно пренебречь.
С учётом указанных приближений, при движении магнита со скоростью \(v\) мгновенная мощность энергетических потерь системы равна \(P = \alpha v^{n_1}\), где \(n_1\) — постоянная величина, \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности, зависящий только от относительного расположения магнита и пластинки. Определите \(n_1\) из теоретических соображений. Ответ обоснуйте.
▶ПодсказкаСкрыть
Оцените, как связаны производная магнитного поля по времени и скорость магнита, и какова мощность джоулева тепла в проводнике при заданной плотности вихревых токов.
▶ОтветСкрыть
1) \(n_1 = 2\) (мощность потерь пропорциональна квадрату скорости, так как вихревое поле и плотность тока пропорциональны \(v\), а джоулево тепло — квадрату плотности тока).
▶РешениеСкрыть
При движении магнита в каждой точке пластинки меняется магнитное поле. Пусть \(\dfrac{d\vec B(\vec r)}{dl}\) — производная поля в точке с радиус-вектором \(\vec r\) по направлению движения магнита. Тогда \[\frac{d\vec B(\vec r)}{dt} = -v\,\frac{d\vec B(\vec r)}{dl}.\] Производная поля по времени пропорциональна скорости магнита, поэтому возникающее в каждой точке пластинки вихревое электрическое поле также пропорционально скорости: \(E_{\text{вихр}} \sim v\).
По локальному закону Ома \(\vec j = \vec E_{\text{вихр}}/\rho\). Тепловая мощность в проводнике длиной \(l\) с сечением \(S\) при токе \(I\) равна \(P = I^2 R = \rho j^2 lS\), откуда мощность тепловыделения в единице объёма \[\frac{dP}{dV} = \rho j^2 = \frac{E_{\text{вихр}}^2}{\rho} \sim v^2.\] Так как сопротивлением воздуха и трением в подшипнике по условию можно пренебречь, все энергетические потери системы связаны с выделением джоулева тепла. Значит, \(P \sim v^2\), и \(n_1 = 2\).
зад 2 Необычный элемент
Совпадает с задачей №2 10 класса.
Отклоним стержень от вертикали так, что магнит будет находиться на высоте \(H\) от положения равновесия, и отпустим без начальной скорости. После прохождения над пластинкой магнит поднимется на высоту \(h < H\). Для измерения значений \(H\) и \(h\) расположите две измерительные стойки с линейками по разные стороны от штатива. Подбирайте расположения стоек так, чтобы, начиная движение от одной, магнит при последующей остановке едва касался второй линейки. В данной части задачи используйте пластинку с наибольшими размерами.
Указание: для задания расстояния \(d\) порядка 1 мм между пластинкой и магнитом в положении равновесия поместите между ним и пластинкой выданную вам линейку измерительной стойки. Кручением гайки, связывающей магнит и стержень, добейтесь плотного контакта линейки с пластинкой и магнитом. Затем уберите линейку.
Получите экспериментальную зависимость \(h(H)\) (не менее 9 точек) в диапазоне \(H \in [10{,}0\ldots 26{,}0]\) см.
Основываясь на теоретических представлениях, полученных в п. 1, получите теоретическую зависимость \(h(H)\). Предложите координаты, в которых теоретическая зависимость \(h(H)\) является линейной функцией. Постройте график полученной зависимости в предложенных координатах и выясните, является ли описанная теоретическая модель применимой.
Теоретическое описание взаимодействия движущегося магнита с пластиной при разных значениях геометрических параметров установки является сложной задачей, решать которую вам не потребуется.
Изучим взаимодействие движущегося магнита с пластинами с различными значениями длины \(a\).
При фиксированном значении \(H = 20\) см получите экспериментальную зависимость \(h(a)\) (5 точек).
Предположим, что разность высот \(\Delta H = H - h\) прямо пропорциональна \(a^{n_2}\), где \(n_2\) — постоянная величина. Определите показатель степени \(n_2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите закон сохранения энергии для колебаний стержня с учётом потерь, в которых \(P = \alpha v^{n_1}\). Затем подумайте, какие величины нужно откладывать по осям, чтобы зависимость стала линейной.
▶ОтветСкрыть
1) таблица \(h(H)\) (10 точек) и график — в решении; 2) \(\sqrt{h} = \sqrt{H} - \dfrac{\beta}{\sqrt{2gM_1M_2}}\), в координатах \(\left(\sqrt{H},\,\sqrt{h}\right)\) зависимость линейна, наклон \(k_1 = 0{,}98 \pm 0{,}05\), модель применима; 3) таблица \(h(a)\) (5 точек) — в решении; 4) \(n_2 \approx 1\) (\(k_2 = 1{,}0 \pm 0{,}2\)).
▶РешениеСкрыть
Пункт 2. Значения \(H\) и \(h\) записаны с учётом поправки на положение магнита относительно каждой линейки. В решении есть точки, выходящие за рекомендуемый диапазон. Пары \((H, h)\) в миллиметрах: \((281; 228)\), \((260; 212)\), \((241; 196)\), \((222; 178)\), \((201; 160)\), \((182; 142)\), \((161; 125)\), \((141; 107)\), \((122; 96)\), \((101; 72)\).
Пункт 3. Потенциальная и кинетическая энергии системы вблизи положения равновесия: \(W_p = M_1 g H\), \(W_k = \dfrac{M_2 v^2}{2}\), где \(M_1\) и \(M_2\) — коэффициенты, зависящие от геометрии системы. Скорости до и после взаимодействия с пластинкой: \[v_0 = \sqrt{\frac{2gH M_1}{M_2}}, \qquad v_1 = \sqrt{\frac{2gh M_1}{M_2}}.\] Закон изменения энергии системы, пренебрегая мощностью силы тяжести: \(M_2 v\,dv = -\alpha v^2\,dt\). Сократив \(v\) и учитывая \(v\,dt = dl\), интегрируем: \(M_2(v_1 - v_0) = -\beta\), где \(\beta = \int \alpha\,dl\) — постоянная величина. Тогда \[\sqrt{h} = \sqrt{H} - \frac{\beta}{\sqrt{2gM_1M_2}}.\] В координатах \(\left(\sqrt{H},\,\sqrt{h}\right)\) зависимость линейна. График (ниже) даёт наклон \(k_1 = 0{,}98 \pm 0{,}05\), что подтверждает предложенную теоретическую модель.
Пункт 4. При \(H = 20\) см (200 мм) получены пары \((a; h)\) в миллиметрах: \((30; 161)\), \((25; 165)\), \((20; 170)\), \((15; 179)\), \((10; 186)\). Значения \(h\) записаны с учётом поправки на положение магнита относительно линейки.
Пункт 5. По этим данным \(\Delta H = H - h\) равно \(39\), \(35\), \(30\), \(21\) и \(14\) мм. График \(\ln\Delta H\) от \(\ln a\) (ниже) имеет наклон \(k_2 = 1{,}0 \pm 0{,}2\), откуда \(n_2 \approx 1\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2021/22, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.