ВсОШ, 2022/23, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Запишите закон Бойля—Мариотта для газа в шприцах и трубке при двух положениях поршня большого шприца. Какая величина в полученной зависимости должна быть линейной функцией объёма \(V_1\), и где график должен пересекать ось \(V_1\)?

Ответ

\(V_0 = (4{,}5 \pm 0{,}6)\) мл.

Решение

Для начала увеличим точность шкалы шприца объёмом 20 мл: приклеим к нему бумажную шкалу, совместив 0 шкалы шприца с основным делением бумажной шкалы, и определим цену деления приклеенной шкалы по делениям 0 и 20 мл. Поршень шприца 20 мл выдвигаем до отметки \(V_1\), поршень шприца 5 мл вдвигаем до упора в крайнее положение. Соединяем шприцы трубкой и плавно вдвигаем поршень большого шприца до момента, когда поршень малого шприца под действием избыточного давления «выскочит» из крайнего положения. Определяем объём \(V_2\) большого шприца в этот момент. Пусть поршень малого шприца сдвигается при давлении, превышающем атмосферное на \(\Delta P\). Тогда по закону Бойля—Мариотта \[P_0(V_1 + V_0) = (P_0 + \Delta P)(V_2 + V_0),\] где \(V_0\) — внутренний объём трубки. После преобразований \[\Delta V = V_1 - V_2 = \frac{\Delta P}{P_0 + \Delta P}\,(V_1 + V_0).\] Если модель верна, график зависимости \(\Delta V\) от \(V_1\) линеен, и продолжение прямой пересекает ось \(V_1\) в точке \(V_1 = -V_0\). Каждый опыт проводим трижды и усредняем результаты.

По графику \(\Delta V_{\text{ср}}(V_1)\) продолжение прямой до пересечения с осью абсцисс даёт \(V_0 \approx 4{,}5\) мл. Погрешность измерения объёма равна цене деления \(\Delta V_{\text{приб}} \approx 0{,}2\) мл, разброс значений укладывается в приборную погрешность. Погрешность \(V_0\) оцениваем по двум вспомогательным прямым, проходящим через края крестов ошибок: \(\Delta V_0 = (5{,}0 - 3{,}8)/2 = 0{,}6\) мл. Окончательно \(V_0 = (4{,}5 \pm 0{,}6)\) мл.

Подсказка

Запишите закон сохранения энергии для малых колебаний: кинетическая энергия вращения кольца и потенциальная энергия поднятого груза. Выразите период через \(m\) и попробуйте найти такую комбинацию переменных, в которой зависимость будет линейной.

Ответ

\(M = (36 \pm 2)\) г.

Решение

При повороте кольца на угол \(\varphi\) потенциальная энергия груза возрастает на \(\Delta E_п = mgR(1 - \cos\varphi) \approx mgR\varphi^2/2\). Кинетической энергией груза при малых колебаниях пренебрегаем: его скорость порядка \(R\dot\varphi\), и его кинетическая энергия много меньше кинетической энергии кольца \(E_к = MR^2\dot\varphi^2\). Закон сохранения энергии дает \[MR^2\dot\varphi^2 + \frac{mgR\varphi^2}{2} = \text{const},\] откуда \[T = 2\pi\sqrt{\frac{2MR}{mg}}.\] Из этого выражения \(T = A\,m^{-0{,}5}\), где \(A = 2\pi\sqrt{2MR/g}\), и \[T^2 = \frac{8\pi^2 MR}{g}\cdot\frac{1}{m}.\] При соответствии данных модели зависимость \(T^2\!\left(\frac{1}{m}\right)\) линейна с угловым коэффициентом \(k = \frac{8\pi^2 MR}{g}\).

Погрешность \(T^2\) оцениваем как \(\Delta(T^2) = 2T\,\Delta T\), где \(\Delta T = \sqrt{(\Delta T_{\text{сист}})^2 + (\Delta T_{\text{сл}})^2}\). Систематическая часть \(\Delta T_{\text{сист}} \approx \Delta t/N \approx 0{,}05\) с (\(\Delta t\) — погрешность времени 10 колебаний), случайная погрешность много меньше систематической. По графику найдено \(k = 0{,}16 \pm 0{,}01\) кг\(\cdot\)с\(^2\). Отсюда масса пластмассового кольца \(M = 36 \pm 2\) г.