ВсОШ, 2023/24, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сделайте из трубочки и пластилина «ареометр»: изменение глубины его погружения при добавлении известной массы связано с силой Архимеда. Для провода используйте то же самое, сравнив два проводника с одинаковой длиной и разными плотностями.

Ответ

1) \(m \approx 0{,}33\) г (контрольное взвешивание на электронных весах дало \(0{,}34\) г);  2) \(d \approx 1{,}8\) мм, что соответствует сечению жилы около \(2{,}5\) мм\(^2\).

Решение

Ареометр из трубочки с пластилином плавает вертикально. Добавочная масса \(m\) увеличивает погружение на \(\Delta h\), и по закону Архимеда \[m = \rho_{\text{в}} S\,\Delta h, \qquad S = \frac{\pi d_0^2}{4},\] где \(d_0\) — внешний диаметр трубочки. Диаметр измеряют по нескольким виткам нити: длина \(10\) витков \(L = 150 \pm 2\) мм, поэтому \(d_0 = \dfrac{L}{10\pi} = 4{,}8 \pm 0{,}05\) мм, \(S = 17{,}3 \pm 0{,}4\) мм\(^2\), относительная погрешность \(\varepsilon_S \approx 0{,}02\).

Чтобы трубочка почти полностью погружалась, в неё кладут 7 пулек (масса пластилина около \(1{,}5\) г). Затем по одной пульке вынимают, пока ареометр не начнёт опрокидываться. Устойчиво плавает при \(N_{\min} = 2\) пульках. Расстояние от верхнего конца трубочки до поверхности воды \(l_2 \approx 9{,}4\) см. Из условия равновесия \[N\,mg = \rho_{\text{в}}\,g\,(l_2 - l_1)\,\frac{\pi d_0^2}{4}\] находим массу одной пульки \[m = \frac{\rho_{\text{в}}\,\pi d_0^2}{4N}\,(l_2 - l_1) \approx 0{,}33~\text{г}.\] Погрешность: \(\varepsilon_{\Delta l} \approx 0{,}03\) (погрешность \(\Delta l = 2\) мм), \(\varepsilon_m \approx \varepsilon_{\Delta l} + \varepsilon_S \approx 0{,}05\), итог \(m = 0{,}33 \pm 0{,}02\) г. Контрольное взвешивание даёт \(m \approx 0{,}34\) г.

Вместо пульки в трубочку помещают медный провод, массу пластилина подбирают так, чтобы ареометр почти полностью погружался. Измеряют глубину погружения верхнего конца для медной (\(h_\text{м} = 90 \pm 1{,}5\) мм) и алюминиевой (\(h_\text{а} = 22 \pm 1{,}5\) мм) жилы (рис. 2), откуда \(\Delta h = h_\text{м} - h_\text{а} = 68 \pm 3\) мм. Длина проводов \(l = 77 \pm 1\) мм.

Разность масс проводов \[\Delta m = m_\text{м} - m_\text{а} = \rho_{\text{в}} S\,\Delta h \approx 1{,}2~\text{г},\] с погрешностью \(\Delta(\Delta m) \approx 0{,}07\) г. С другой стороны, \[\Delta m = (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{а}})\,\frac{\pi d^2}{4}\,l,\] откуда \[d = \sqrt{\frac{4\,\Delta m}{\pi(\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{а}})\,l}} \approx 1{,}8~\text{мм}, \qquad \varepsilon_d = \tfrac12(\varepsilon_{\Delta m} + \varepsilon_l) \approx 0{,}04.\] Окончательно \(d = 1{,}8 \pm 0{,}07\) мм. Производитель заявляет сечение жилы \(2{,}5\) мм\(^2\), ему соответствует диаметр \(1{,}78\) мм.

Подсказка

Один омметр зашкаливает на сопротивлении \(R\), но два омметра, включённые последовательно, покрывают диапазон. Вольтметр с известным сопротивлением \(R_V\) позволяет получить ещё два уравнения для \(U_0\) и \(r\).

Ответ

1) \(R \approx 3020\) кОм, погрешность около \(0{,}5\) %;  2) \(U_0 \approx 259\) мВ (погрешность около \(6\) мВ), \(r \approx 995\) кОм (погрешность около \(57\) кОм).

Решение

Переключим один мультиметр в режим вольтметра («200m»), другой — в режим омметра («2000k») и соединим их. Вольтметр показывает \(U_V = 129{,}8\) мВ, омметр измеряет сопротивление вольтметра \(R_V = 996\) кОм.

Способ 1. Один омметр не может измерить \(R\), так как зашкаливает. Соединим последовательно оба омметра и резистор. Сумма показаний \(R_{\Omega 1} + R_{\Omega 2} = 1507\) кОм \(+ 1510\) кОм \(= 3017\) кОм \(\approx 3020\) кОм. Погрешность суммы \(6\) кОм (\(0{,}2\) %); при колебаниях показаний каждого прибора в пределах \(\pm 5\) кОм итоговая погрешность \(16\) кОм (\(0{,}53\) %).

Способ 2. Соединим резистор \(R\) и вольтметр параллельно и подключим омметр. Он показывает \(R' = 749\) кОм, откуда \[R = \frac{R_V R'}{R_V - R'} = \frac{996 \cdot 749}{247}~\text{кОм} \approx 3020~\text{кОм}.\] Относительная погрешность этого способа около \(3{,}1\) %.

Соберём последовательно омметр, вольтметр («200m») и резистор \(R\). Омметр зашкаливает, а вольтметр показывает \(U'_V = 51{,}6\) мВ. По схеме омметра эта цепь — последовательное соединение источника и трёх резисторов \(r\), \(R\) и \(R_V\), поэтому \[U'_V = \frac{U_0 R_V}{r + R + R_V}, \qquad U_V = \frac{U_0 R_V}{r + R_V}.\] Отсюда \[U_0 = \frac{U_V R / R_V}{U_V / U'_V - 1} = \frac{393{,}2}{129{,}8/51{,}6 - 1}~\text{мВ} \approx 259~\text{мВ},\] \[r = \frac{R}{U_V/U'_V - 1} - R_V \approx 995~\text{кОм}.\] Относительная погрешность выражения \(k = U_V/U'_V - 1\) около \(1{,}3\) %, поэтому \(\varepsilon_{U_0} \approx 2{,}4\) %, \(\Delta U_0 \approx 6\) мВ, а \(\Delta r \approx 57\) кОм.