ВсОШ, 2023/24, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сначала найдите сечение трубки через объём воды и длину её столбика. Затем по изменению длины столбика воды при нагнетании давления найдите относительное изменение сечения, а по сжатию воздушного столбика — избыточное давление.

Ответ

1) \(S_0 = (0{,}072 \pm 0{,}002)\) см\(^2\);  2) \(\alpha = (6{,}8 \pm 0{,}3)\cdot 10^{-7}\) Па\(^{-1}\).

Решение

Подключим к трубке шприц. Погрузим свободный конец трубки в воду. Двигая поршень шприца, наберём в трубку \(V_0 = (7{,}0 \pm 0{,}2)\) мл воды. Измерим длину столба воды в трубке \(h_0 = (97{,}1 \pm 0{,}2)\) см (трубка при измерениях должна быть расположена горизонтально). Тогда \[S_0 = \frac{V_0}{h_0} = (0{,}072 \pm 0{,}002)~\text{см}^2.\] Погрешность оцениваем, сложив относительные погрешности измерения объёма и длины. Относительная погрешность измерения длины много меньше относительной погрешности измерения объёма: \[\sigma_{S_0} = S_0\left(\frac{\sigma_{V_0}}{V_0} + \frac{\sigma_{h_0}}{h_0}\right).\] Заполнять трубку можно и другим способом: набрать в шприц \(10\) мл воды, подключить к нему пустую трубку и, нажимая на поршень, заполнить её водой. Такой способ не является ошибочным, однако при нём в столбике воды чаще образуются пузыри воздуха, особенно при загрязнённой внутренней поверхности трубки.

Опустошим трубку. Вновь погрузим свободный конец трубки в воду и наберём в неё примерно \(4\) мл воды. Вытащим свободный конец из воды и переместим столбик воды с помощью шприца ближе к шприцу так, чтобы расстояние от края столбика до свободного конца трубки было примерно равно длине столбика. Вставим в открытый конец трубки пробку и отключим шприц. Измерим длину столба воздуха \(l_0 = (40{,}2 \pm 0{,}1)\) см в трубке, заключённого между местом пережатия трубки и краем столбика воды. Приклеим на стол мерную ленту, сверху к ней приклеим исследуемую трубку в распрямлённом состоянии и подсоединим шприц к оставшемуся открытым концу трубки.

Обозначим координату ближнего к шприцу края столбика жидкости в трубке за \(x_1\), а дальнего — за \(x_2\). Будем надавливать на поршень шприца и измерять \(x_1\) и \(x_2\).

Объём воды в трубке в течение эксперимента не меняется: \[(x_{20} - x_{10})\,S_0 = (x_2 - x_1)(S_0 + \Delta S),\] где \(x_{10}\), \(x_{20}\) — координаты столбика жидкости при атмосферном давлении. Тогда через изменение длины столбика воды легко вычислить относительное изменение сечения трубки: \[\frac{\Delta S}{S_0} = \left(\frac{x_{20} - x_{10}}{x_2 - x_1}\right) - 1.\] Изменение давления в системе определим по изменению объёма воздуха в трубке, ограниченного столбиком воды и местом пережатия. По закону Менделеева–Клапейрона \[p_0\,l_0\,S_0 = p\,\bigl(l_0 - (x_2 - x_{20})\bigr)(S_0 + \Delta S),\] откуда избыточное давление \[\Delta p = p - p_0 = p_0\left(\frac{l_0}{l_0 - (x_2 - x_{20})}\cdot\frac{S_0}{S_0 + \Delta S} - 1\right).\] Подставляя отношение площадей, получаем \[\Delta p = p_0\left(\frac{l_0}{l_0 - (x_2 - x_{20})}\cdot\frac{x_2 - x_1}{x_{20} - x_{10}} - 1\right).\]

Погрешность относительного изменения сечения складывается из относительных погрешностей начальной и текущей длин столбика воды. С учётом \(\Delta S/S_0 \ll 1\) и \(x_2 - x_1 \approx x_{10} - x_{20}\) погрешность относительного изменения сечения практически не меняется: \[\sigma\!\left(\frac{\Delta S}{S_0}\right) = \frac{4\sigma_x}{x_{10} - x_{20}} = 0{,}4\cdot 10^{-2},\] где \(\sigma_x = 0{,}5\) мм — половина цены деления шкалы мерной ленты. Погрешность давления оценивается через относительные погрешности длин столбиков воды и воздуха и погрешность \(l_0\); в таблице приведены значения \(\sigma_{\Delta p}\) для каждой точки.

По таблице измерений строим график зависимости \(\dfrac{\Delta S}{S_0}(\Delta p)\). Точки ложатся на прямую пропорциональности с угловым коэффициентом \[\alpha = (6{,}8 \pm 0{,}3)\cdot 10^{-7}~\text{Па}^{-1}, \qquad \varepsilon_\alpha \approx 4{,}4~\%.\]

Учёт изменения сечения трубки при подсчёте давления в системе заметно влияет на результат: без него значение \(\alpha\) отличается примерно на \(15\) %, что существенно больше рассчитанной относительной погрешности.

Измерять давление в системе можно и по количеству воздуха в шприце: часть шприца заполняют водой, а в части оставляют воздух, держат шприц вертикально и сжимают воздух поршнем. Однако длина воздушного столбика в таких измерениях существенно меньше, чем в трубке, поэтому точность этого способа гораздо ниже. Деформацией уплотнителя поршня шприца можно пренебречь, так как её эффект меньше цены деления шприца.

Подсказка

Заряд конденсатора через источник и вольтметр и его разряд через вольтметр дают две экспоненты с разными характерными временами \(\tau_1\) и \(\tau_2\). Их отношение выражается через \(r/R_V\), а само напряжение на вольтметре, подключённом к источнику, даёт ЭДС.

Ответ

1) \(U_0 \approx 9{,}72\) В, внутреннее сопротивление \(r \approx 2{,}0\) МОм;  2) \(C \approx 3{,}75\) мкФ.

Решение

Подключаем последовательно источник, конденсатор и вольтметр, замыкаем цепь и фиксируем время изменения напряжения вольтметра от значения \(U_1\) до \(U_2\). В качестве \(U_1\) нельзя выбирать показания прибора в первые две–три секунды после включения, так как из-за инерции цифрового прибора они недостоверны. Аналогичные измерения повторяем несколько раз, каждый раз отключая конденсатор и замыкая его выводы для полного разряда. Для заряда конденсатора \[\frac{dq}{dt}(2r + R_V) = U_0 - \frac{q}{C}, \qquad q = CU_0\left(1 - e^{-t/\tau_1}\right),\] где \(U_0\), \(r\) — ЭДС и внутреннее сопротивление источника, \(R_V\) — сопротивление вольтметра, \(\tau_1 = C(2r + R_V)\) — характерное время заряда. Напряжение на вольтметре при этом \[U_V = \frac{dq}{dt}(2r + R_V) = \frac{U_0 R_V}{r + R_V}\,e^{-t/\tau_1}.\] Для отношения напряжений, измеренных вольтметром с разницей по времени \(\Delta t\), \[\frac{U_1}{U_2} = e^{\Delta t/\tau_1}, \qquad \text{отсюда} \qquad \tau_1 = \frac{\Delta t}{\ln\dfrac{U_1}{U_2}}.\] Результаты для разных пар \(U_1\) и \(U_2\) приведены в таблице 1. Усреднённое по сериям экспериментов характерное время заряда конденсатора составляет \(\tau_1 = 18{,}83\) с.

Подключаем конденсатор к источнику, держим его подключённым одну-две минуты, затем отключаем. Подключаем к заряженному конденсатору вольтметр и фиксируем время, в течение которого конденсатор разряжается от напряжения \(U_3\) до \(U_4\). Для разряда \[\frac{dq}{dt} = -\frac{q}{(R_V + r)C}, \qquad q = CU_0 e^{-t/\tau_2},\] где \(\tau_2 = (R_V + r)C\) — характерное время разряда через вольтметр. Для напряжения вольтметра \(U_V = CU_0 e^{-t/\tau_2}\). Для отношения напряжений \[\frac{U_3}{U_4} = e^{\Delta t/\tau_2}, \qquad \text{отсюда} \qquad \tau_2 = \frac{\Delta t}{\ln\dfrac{U_3}{U_4}}.\] Так же, как и выше, \(U_3\) нельзя выбирать в первые две–три секунды. Результаты приведены в таблице 2. Усреднённое значение \(\tau_2 = 11{,}30\) с.

Внутреннее сопротивление источника находим по отношению времён: \[\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{2r + R_V}{r + R_V} = 1{,}67, \qquad \frac{r}{R_V} \approx 2{,}0, \qquad r \approx 2{,}0~\text{МОм}.\] Для ЭДС подключим вольтметр к источнику. Напряжение на вольтметре \(U_V = U_0\dfrac{R_V}{R_V + r}\); экспериментально \(U_V = 3{,}24\) В. Отсюда \[U_0 = U_V\,\frac{R_V + r}{R_V} \approx 9{,}72~\text{В}.\] Ёмкость конденсатора \[C = \frac{\tau_1}{2r + R_V} \approx 3{,}75~\text{мкФ}.\]