ВсОШ, 2023/24, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Из подобия треугольников \(ABC\) и \(ADE\) смещение \(h\) выражается через \(x\), \(a\) и \(b\). Для малых углов законы преломления превращаются в линейные соотношения.

Ответ

1) \(h = \dfrac{bx}{a}\);  2) \(\alpha = 1\) (линейная зависимость), \(k \approx 0{,}28\);  3) \(n = \dfrac{1}{1-k} \approx 1{,}39\).

Решение

Проводим измерения, результаты представлены в таблице 1. В последнем столбце указано значение \(h\), рассчитанное по формуле, полученной в пункте 2.

Из подобия треугольников \(ABC\) и \(ADE\): \[\frac{h}{x} = \frac{b}{a}, \qquad h = \frac{b\,x}{a}.\]

Строим график зависимости \(h(H)\). Так как точки хорошо ложатся на прямую, проходящую через начало координат, делаем вывод о линейной зависимости \(h\) от \(H\). Проводим прямую через начало координат и определяем угловой коэффициент: \(k \approx 0{,}28\).

Рассмотрим плоскопараллельную пластину (слой воды) толщиной \(H\) и показателем преломления \(n\). Построим ход двух лучей, идущих от точки \(A\), расположенной на нижней поверхности пластины (дне водного слоя). Луч \(AK\) падает на верхнюю поверхность перпендикулярно, поэтому выходит без преломления. Угол падения луча \(AM\) равен \(\varphi\), он выходит из пластины под углом \(\varphi'\) к перпендикуляру \(LM\) к верхней поверхности. Лучи \(AK\) и \(MN\) попадают наблюдателю «в глаз», и он видит изображение точки \(A\) в точке \(A'\) (то есть точка \(A\) как бы приподнимается с точки зрения наблюдателя).

По закону преломления \(n \sin\varphi = 1 \cdot \sin\varphi'\), где абсолютный показатель преломления воздуха равен \(1\). Рассмотрим треугольник \(ALM\): \(AL = LM\tan\varphi = H\tan\varphi\). Для треугольника \(A'KM\): \(KM = KA'\tan\varphi'\), и \(KM = AL\). Так как углы малы, \(\tan\varphi \approx \sin\varphi \approx \varphi\), \(\tan\varphi' \approx \sin\varphi' \approx \varphi'\). Тогда \(H\varphi = KA'\,n\varphi\). Поскольку \(KA' = H - h\), получаем \[h = \frac{n - 1}{n}\,H.\] Таким образом, коэффициент \(k\) связан с показателем преломления соотношением \[k = \frac{n-1}{n}, \qquad n = \frac{1}{1-k}.\] Подставляя \(k \approx 0{,}28\), получаем \(n = \dfrac{1}{1 - 0{,}28} \approx 1{,}39\).

Подсказка

Объём рулона можно выразить и через его длину, толщину и ширину, и через внешний и внутренний диаметры. Для массы используйте лист миллиметровки известной массы как рычаг и правило моментов.

Ответ

1) \(h = (127 \pm 9)\) мкм;  2) \(\lambda = (3{,}0 \pm 0{,}2)\) г/м;  3) \(\rho = (1{,}24 \pm 0{,}24)\) г/см\(^3\).

Решение

Отрежем от листа бумаги белые края, оставив только миллиметровую сетку. Размеры получившегося листа \(a = (20{,}0 \pm 0{,}1)\) см, \(b = (28{,}0 \pm 0{,}1)\) см. Скрутим миллиметровку в максимально плотную трубочку (разлиновкой наружу) вдоль длинной стороны \(b\). Закрепим края очень узкими полосками изоленты, отрезанными от основного рулона. Эту трубочку используем как линейку и как рычаг. Масса трубочки \[M = ab\sigma = 4{,}48 \pm 0{,}04~\text{г}.\] Ширина изоленты \(l = (19 \pm 1)\) мм, внешний диаметр рулона \(D = (72 \pm 1)\) мм, внутренний диаметр рулона (без учёта картонной втулки) \(d = (44 \pm 1)\) мм. Объём рулона можно выразить через длину \(L\), толщину \(h\) и ширину \(l\): \[V = Lhl,\] а также через диаметры и ширину: \[V = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4}\,l.\] Из этих двух выражений \[h = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4L} = (127 \pm 9)~\text{мкм}.\] Заводское значение толщины изоленты \(0{,}13\) мм.

Для второго и третьего пунктов необходимо измерить массу изоленты. В этой задаче это можно сделать только с помощью известной массы листа миллиметровой бумаги. Используем бумажную трубочку как рычаг. Подвесим её на нитке и определим положение центра масс, уравновесив трубочку в горизонтальном положении. Далее будем отрезать от изоленты отрезки длиной \(b = 28\) см (равные длине бумажного рычага) и последовательно наматывать их заподлицо на край бумажной трубочки. Обозначим массу одного отрезка \(m_0\). Снимем зависимость смещения \(x\) центра масс системы «рычаг + лента» от количества \(n\) отрезков изоленты длиной \(28\) см, намотанных на рычаг.

Правило моментов относительно точки подвеса для горизонтального рычага: \[Mgx = n\,m_0\,g\left(\frac{b}{2} - \frac{l}{2} - x\right).\] После преобразований \[\frac{1}{n} = \frac{1}{x}\cdot\frac{m_0}{M}\,\frac{b - l}{2} - \frac{m_0}{M}.\] Зависимость \(\dfrac{1}{n}\) от \(\dfrac{1}{x}\) линейная; угловой коэффициент этой зависимости \(k = \dfrac{m_0}{M}\cdot\dfrac{b - l}{2}\) даёт массу отрезка \(m_0\) длиной \(28\) см. Строим график \(\dfrac{1}{n}(\dfrac{1}{x})\).

С помощью графика находим \(k = (24{,}4 \pm 1{,}2)\) мм, или \(m_0 = (0{,}84 \pm 0{,}06)\) г.

Линейная плотность изоленты \[\lambda = \frac{m_0}{b} = (3{,}0 \pm 0{,}2)~\text{г/м}.\] Объёмная плотность изоленты \[\rho = \frac{\lambda}{hl} = (1{,}24 \pm 0{,}24)~\text{г/см}^3.\]