ВсОШ, 2023/24, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Основой конструкции весов Роберваля является параллелограмм (рамка), состоящий из четырёх жёстких деревянных стержней (см. рис. 1).

Обозначения на рисунке: 1 — основание весов; 2 — нижний центральный шарнир, жёстко соединённый с рамкой весов; 3 — верхний центральный шарнир, жёстко соединённый с основанием весов.

Середины двух противоположных (исходно горизонтальных) сторон параллелограмма шарнирно закреплены на вертикальном основании. При этом две другие его стороны в любой конфигурации параллелограмма остаются вертикальными. Перпендикулярно к этим сторонам жёстко прикреплены «полки» весов, на которых располагаются взвешиваемые грузы (см. рисунок). Удивительным свойством этой механической системы является то, что, если массы грузов одинаковы, весы находятся в равновесии независимо от места расположения грузов. Возникает ощущение, что не выполняется правило моментов. Особенностью конструкции весов, используемых в данной работе, является большой размер нижнего отверстия в основании, обеспечивающий свободное перемещение в этом отверстии (наличие определённого люфта) нижнего центрального шарнира.

1. Запишите номер весов, указанный на нижней части основания. Установите весы на крае стола и закрепите их двумя зажимами. Измерьте в миллиметрах длины сторон параллелограмма \(a\) и \(b\) между центрами угловых шарниров. Сбалансируйте весы. Для этого, устраняя трение в шарнирах лёгким постукиванием по нижней части основания, добейтесь устойчивости горизонтального положения верхней рейки параллелограмма, надевая дополнительные шайбы с диаметром отверстия 6 мм на шурупы верхних торцов вертикальных реек.

2. Только в рамках пунктов 1–3 задания считайте, что все силы трения скольжения данной конструкции сосредоточены в верхнем центральном шарнире радиусом \(R\) и создают в нём эффективный суммарный момент \(M = F_{\text{тр}} R\) (в других пунктах указанную модель не используйте). Определите момент силы трения \(M_1\) сбалансированных весов без нагрузки (до установки на них тяжёлых грузов). Масса большой дополнительной шайбы (с диаметром отверстия 8 мм) \(m_{\text{б}} = 6\) г, масса малой дополнительной шайбы (с диаметром отверстия 5 мм) \(m_{\text{м}} = 1\) г. Подробно опишите метод определения \(M_1\).

3. Установите тяжёлые грузы на левую и правую полки весов максимально близко к вертикальным рейкам параллелограмма. (Внимание: инструкция по установке и снятию грузов приведена в приложении к условию). Убедитесь в устойчивости горизонтального положения верхней рейки параллелограмма. Аналогично пункту 2 задания определите эффективный суммарный момент силы трения \(M_2\) для нагруженных весов. Чему равно отношение \(n = M_2/M_1\)?

При выполнении пунктов 1–3 задания построение графиков не требуется.

4. Снимите зависимость горизонтальной силы \(F\), действующей со стороны основания на нижний центральный шарнир, от расстояния \(x\), на которое правый груз удалён от оси вертикальной рейки параллелограмма (см. рис. 1). Примечание: левый груз при этом должен располагаться на прежнем месте, т. е. максимально близко к своей вертикальной рейке. Измерения проводите при горизонтальном положении верхней и нижней реек параллелограмма. В таблице измерений предусмотрите дополнительный столбец для дальнейших исследований.

5. Постройте график полученной зависимости.

6. Выведите формулу, связывающую \(F\) и \(x\) через массу грузов и геометрические размеры установки (см. рис. 1).

7. Используя результаты, полученные в пунктах 4–6 задания, определите массу тяжёлых грузов \(m_0\). Оцените погрешность определения массы.

8. Проведя необходимое дополнительное измерение и используя результаты, полученные в пункте 4 задания, рассчитайте зависимость силы \(Q\), действующей со стороны верхнего центрального шарнира на рамку весов, от расстояния \(x\), на которое правый груз удалён от оси вертикальной рейки параллелограмма. Запишите формулу, использованную для расчёта \(Q(x)\).

9. Постройте график зависимости \(Q(x)\). При выполнении пунктов 8 и 9 задания погрешность не рассчитывайте.

Приложение. Инструкция по установке больших грузов.

1. Любые измерения с тяжёлыми грузами должны производиться только при надёжном креплении грузов, подвешенных к полкам весов с помощью винта, торчащего из крышки, и гайки М3, как показано на рисунке 2. В исходном состоянии на винт каждого груза (каждой бутылки с песком) навинчено по 3 гайки. Одна из них является основной, две другие — запасные. Каждую из них можно использовать при утере предыдущей. Дополнительные гайки М3, кроме имеющихся в Вашем распоряжении в начале эксперимента, выдаваться не будут.

2. Левый груз устанавливается первым. Он при всех измерениях в данном задании располагается максимально близко к левой рейке параллелограмма. Его местоположение не изменяется. Удерживайте груз одной рукой ниже полки весов и, вставив винт в отверстие, другой рукой навинтите гайку таким образом, чтобы несколько витков резьбы винта оказалось выше гайки. Это обеспечит надёжность крепления. Имейте в виду, что падение груза на стол или на пол может привести к образованию трещин в бутылочке и высыпанию песка из неё.

3. Закрепив левый груз, плавно опустите его рукой вместе с полкой весов вниз до упора (см. рисунок 3).

4. Аналогично установите правый груз в нужном месте правой полки. Плавно отпустите его и вручную переведите верхнюю и нижнюю рейки параллелограмма в горизонтальное положение (см. рисунок 4).

5. Перед снятием правого груза снова плавно переведите левый груз в нижнее положение. После этого изменяйте положение правого груза и вновь придавайте параллелограмму форму прямоугольника.

▶РешениеСкрыть

Решение

Геометрия и момент трения без нагрузки. Фото установки:

Геометрические размеры установки: \(a = 184\) мм, \(b = 300\) мм. Будем добавлять малые грузы (шайбы) на полку, пока весы не начнут опускаться. Для момента трения используем метод виртуальных перемещений: при опускании правого конца рычага длиной \(a/2\) на \(\Delta h\) цилиндр шарнира радиусом \(R\) поворачивается на угол \(\varphi\) и проскальзывает по основанию на длину дуги \(\Delta L\):

\[\Delta m\, g\,\Delta h = F_{\text{тр}}\Delta L;\qquad \Delta m\, g\,\frac{a}{2}\varphi = F_{\text{тр}} R\varphi;\qquad M = F_{\text{тр}} R = \Delta m\, g\,\frac{a}{2}.\] Конструктивное несовершенство установки: масса \(\Delta m\) может зависеть от того, с какой стороны стоит груз. На контрольной установке получено: справа \(\Delta m_{\text{п}} = 4\) г, \(M_{1\text{п}} = 3{,}7\cdot 10^{-3}\) Н\(\cdot\)м; слева \(\Delta m_{\text{л}} = 3\) г, \(M_{1\text{л}} = 2{,}8\cdot 10^{-3}\) Н\(\cdot\)м. Усредняя, получаем \(M_1 \approx 3{,}3\cdot 10^{-3}\) Н\(\cdot\)м.

Момент трения под нагрузкой. Закрепим большие грузы максимально близко к вертикальным рейкам. Справа \(\Delta m_{\text{п}} = 17\) г, \(M_{2\text{п}} \approx 16\cdot 10^{-3}\) Н\(\cdot\)м; слева \(\Delta m_{\text{л}} = 15\) г, \(M_{2\text{л}} \approx 14\cdot 10^{-3}\) Н\(\cdot\)м. Усредняя, в официальном решении получено \(M_2 = 15{,}5\cdot 10^{-3}\) Н\(\cdot\)м и \(n = M_2/M_1 \approx 4{,}7\).

Измерение силы \(F\). Горизонтальную силу измеряем динамометром, зацепляя его за проволочную петлю в нижней части правой рейки. Показания снимаем, когда шарнир не касается боковых стенок большого отверстия, а динамометр горизонтален. Линия, соединяющая шарниры правой рейки, отстоит от ближайшего отверстия на полке на 52 мм; остальные отверстия расположены с шагом 20 мм, поэтому \(x_i = (52 + 20i)\) мм.

Результаты измерений:

Масса грузов. Правило моментов относительно верхнего шарнира: \[m_0 g\,(x + a/2) = m_0 g\,(x_0 + a/2) + Fb + M_{\text{трп}},\] откуда после преобразований \(F = \dfrac{m_0 g}{b}\,x + C\). Угловой коэффициент \(k = m_0 g/b\). Проведя крайние прямые с максимальным и минимальным наклоном, получаем \(k_{\max} = 20{,}0\) Н/м и \(k_{\min} = 17{,}7\) Н/м, откуда \(m_{0\max} = 610\) г и \(m_{0\min} = 540\) г (в решении использовано \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\)).

Среднее \(m_0 = 575\) г, погрешность \(\pm 40\) г, окончательно \(m_0 = (580 \pm 40)\) г (погрешность около 6%; эталонное значение \(m_0 = 560\) г).

Сила \(Q\). Сила со стороны верхнего шарнира — векторная сумма вертикальной силы \(F_{\text{в}} = 2m_0 g + Mg\) (здесь \(M\) — полная масса рамки) и горизонтальной силы, равной по модулю \(F\): \[Q = \sqrt{F_{\text{в}}^2 + F^2}.\] Для \(M\) положим основание весов на угол стола, чтобы рамка не касалась стола. Динамометром тянем рамку вверх за петлю; показание \(F_1 = 1{,}4\) Н в положении, где центральный шарнир не касается стенок отверстия. Правило моментов: \(F_1 b = Mg\,\dfrac{b}{2}\), откуда \(M = 290\) г и \(F_{\text{в}} = 2m_0 g + Mg = 14{,}1\) Н.

Подставляя в формулу данные таблицы, получаем \(Q(x)\):

График похож на параболу. Так и должно быть: при \(F \ll F_{\text{в}}\) \[Q = F_{\text{в}}\sqrt{1 + \frac{F^2}{F_{\text{в}}^2}} \approx F_{\text{в}} + \frac{F^2}{2F_{\text{в}}},\] а в искомое выражение входит квадрат линейной зависимости \(F(x)\).

Впервые вычислить эквивалентное сопротивление электрической цепи (см. рисунок), состоящей из очень большого числа звеньев, было предложено участникам I Международной олимпиады по физике в 1967 году. С тех пор эта задача стала классической. Сегодня же вам предстоит экспериментально исследовать, как зависит сопротивление данной цепи от числа звеньев в ней.

1. Определите сопротивления всех резисторов и проверьте, что все резисторы \(r\) и все резисторы \(R\) (\(r \ll R\)) имеют одинаковые сопротивления в пределах точности измерений мультиметра. Считайте погрешность мультиметра в этом и последующих пунктах равной трём единицам последнего разряда. Если есть резисторы \(R\), сопротивление которых отличается больше, чем на 1 %, попросите их заменить. Вычислите средние значения \(R\) и \(r\) и их погрешности.

2. Снимите зависимость эквивалентного сопротивления цепи (см. рисунок) \(\Omega(n)\) от числа звеньев \(n\) для \(n = 1, 2, \dots, 7\). Для \(n = 7\) начертите Вашу схему подключения резисторов, проводов и мультиметра на макетной плате. Для этого Вам выдан бланк с напечатанной схемой макетной платы. Резисторы сопротивлением \(R\) обозначайте на схеме в виде закрашенных прямоугольников, а резисторы сопротивлением \(r\) — в виде незакрашенных. Если схему для \(n = 7\) собрать не удалось, то начертите схему подключения для цепи с максимальным числом звеньев.

   Без начерченной схемы Ваши экспериментальные данные и расчёты не будут оцениваться.

3. Используя средние значения \(r\) и \(R\) из первого пункта, рассчитайте теоретическое значение \(\Omega(\infty)\) сопротивления цепи, состоящей из очень большого (\(n \gg 1\)) числа звеньев.

4. Нанесите точки снятой зависимости \(\Omega(n)\) на график. Соедините эти точки гладкой линией. На этом же графике постройте горизонтальную прямую \(\Omega = \Omega(\infty)\). Это тот предел (горизонтальная асимптота), к которой должны стремиться точки измеренной зависимости \(\Omega(n)\).

5. В приближении \(n^2 r \ll R\) (считайте, что данное приближение верно для всех \(n \leqslant 7\)) зависимость эквивалентного сопротивления от количества звеньев принимает вид \(\Omega(n) = F(R, n) + f(r, n)\), где \(f(r, n)\) — небольшая добавка, равная \[f(r, n) = \frac{(2n+1)(n+1)}{6n}\,r,\] а \(F(R, n)\) — основной член, зависящий только от \(R\) и \(n\). Чему равна функция \(F(R, n)\)?

6. С учётом теоретической зависимости, полученной в предыдущем пункте, подберите такие координаты, в которых измеренная Вами зависимость \(\Omega(n)\) будет линейной. Постройте график линеаризованной зависимости.

7. Из графика, построенного в предыдущем пункте, определите сопротивления \(r\) и \(R\) и их погрешности. Сравните полученные значения \(R\) и \(r\) с результатами прямых измерений в пункте 1.

▶РешениеСкрыть

Решение

Сопротивления резисторов. Мультиметром в режиме омметра измерены все резисторы; результаты:

Получено \(r = (9{,}95 \pm 0{,}06)\) кОм, \(R = (998 \pm 4)\) кОм.

Зависимость \(\Omega(n)\). Результаты измерений:

Теоретическое \(\Omega(\infty)\). Если к цепи из бесконечного числа звеньев добавить ещё одно звено, эквивалентное сопротивление не изменится: \(\Omega(\infty) = r + \dfrac{R\,\Omega(\infty)}{R + \Omega(\infty)}\). Решение уравнения дает \[\Omega(\infty) = \frac{r + \sqrt{r^2 + 4rR}}{2} \approx (104{,}8 \pm 0{,}5)~\text{кОм}.\] Второй, отрицательный корень физического смысла не имеет.

Функция \(F(R, n)\). При \(r = 0\) цепь превращается в \(n\) параллельно соединённых резисторов \(R\): \(\Omega(n) = R/n = F(R, n)\). Таким образом, \[\Omega(n) = \frac{R}{n} + \frac{(n+1)(2n+1)}{6n}\,r. \qquad (*)\]

Линеаризация. Обозначим \(y = n\Omega\) и \(x = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}\). Тогда уравнение (*) принимает вид \(y = rx + R\).

Свободный коэффициент линейного графика \(R = (997 \pm 4)\) кОм, угловой коэффициент \(r = (9{,}7 \pm 1{,}2)\) кОм. Эти значения совпадают в пределах погрешности со значениями, полученными в пункте 1.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2023/24, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.