зад 1 Крупа в шприце
Оборудование: шприц 20 мл; пластиковая трубка; крупа в пластиковом стаканчике; мерная лента; канцелярский зажим; штатив с лапкой; 2 листа миллиметровой бумаги для построения графиков; малярный скотч (по требованию); пластиковая ёмкость с водой (воду можно попросить долить); салфетки или бумажные полотенца для поддержания чистоты рабочего места.
Задание. С помощью выданного оборудования измерьте:
площадь внутреннего поперечного сечения трубки \(S\) и оцените её погрешность \(\Delta S\);
атмосферное давление \(p_{\text{атм}}\).
Достаньте поршень из шприца. Если шприц внутри влажный, то тщательно удалите воду салфеткой. Поместите некоторое количество крупы в этот шприц. Верните поршень на место.
Внимание! Зерна крупы очень быстро намокают и увеличивают свой объём, поэтому их НЕЛЬЗЯ мочить. Решения, допускающие контакт крупы с водой, не будут оцениваться. Дополнительные порции крупы выдаваться не будут.
Определите пустотность \(\alpha\) крупы, т. е. отношение объёма воздуха между зёрнами к полному (насыпному) объёму, занимаемому крупой: \(\alpha = \dfrac{V_{\text{возд}}}{V_{\text{насып}}}\).
Примечание 1. При выполнении работы отдельные компоненты из перечня оборудования можно размещать как на столе, так и на полу.
Примечание 2. Погрешность в задаче требуется оценить только для площади поперечного сечения трубки в пункте 1.
Примечание 3. Плотность воды считайте равной \(\rho = 1000\text{ кг/м}^3\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\text{ м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Объём воды в трубке известен по шкале шприца, а её длина даёт сечение. Для давления воспользуйтесь законом Бойля — Мариотта для воздуха в шприце при разных положениях поршня и столба жидкости в трубке.
▶ОтветСкрыть
1) \(S \approx 12{,}6\text{ мм}^2\), \(\Delta S = 0{,}5\text{ мм}^2\); 2) \(p_{\text{атм}} \approx 96\text{ кПа}\); 3) \(\alpha \approx 0{,}49\).
▶РешениеСкрыть
Площадь сечения. Набираем в шприц воду, присоединяем трубку и заполняем её водой объёмом \(V = 14\) мл без воздушных промежутков. Измеряем длину заполненного участка \(L\); тогда \(S = V/L\). Три измерения дают \(L_{\text{ср}} = 111{,}3\) см, отсюда \(S = 12{,}6\) мм\(^2\).
Погрешность. Систематическая погрешность длины \(\Delta L_{\text{сист}} = 2\) мм (при аккуратных измерениях, иначе добавляется около 3 мм), случайная \(\Delta L_{\text{случ}} = \dfrac{1}{n}\sum|L_i - L_{\text{ср}}| = 2\) мм. Итоговая \(\Delta L = \sqrt{\Delta L_{\text{случ}}^2 + \Delta L_{\text{сист}}^2}\approx 3\) мм, \(\varepsilon_L = 0{,}3\%\). Погрешность объёма — половина цены деления шприца: \(\Delta V = 0{,}5\) мл, \(\varepsilon_V = 3{,}6\%\). Так как \(\varepsilon_V \gg \varepsilon_L\), \(\varepsilon_S \approx \varepsilon_V\), откуда \(\Delta S = \varepsilon_S S = 0{,}5\) мм\(^2\).
Атмосферное давление. Поршень шприца устанавливаем на отметку \(V_0 = 20\) мл, поднимаем шприц вдоль мерной ленты и измеряем высоту столба воды в трубке \(h\) и длину участка с воздухом \(l\). Температура воздуха не меняется: \(p_{\text{атм}}V_0 = (p_{\text{атм}} - \rho g h + \Delta p)(V_0 + Sl + \Delta V)\). Отсюда \(\rho g h = p_{\text{атм}}\dfrac{Sl}{V_0+Sl} + A\), где \(A \approx\) const — смещение начальной точки из-за стыковки шприца с трубкой. График \(\rho g h(Y)\), \(Y = \dfrac{Sl}{V_0 + Sl}\), линеен; по нему \(p_{\text{атм}}\approx 96\) кПа.
Пустотность. В шприц объёмом 20 мл насыпаем \(V_{\text{насып}} = 20\) мл крупы и плотно прижимаем поршнем. Аналогично измеряем \(h\) и \(l\). Температура постоянна: \(p_{\text{атм}}V_{\text{возд}} = (p_{\text{атм}} - \rho g h)(V_{\text{возд}} + Sl)\), а с учётом \(V_{\text{возд}} = \alpha V_{\text{насып}}\) получаем \(l = \alpha\,\dfrac{\rho g h\,V_{\text{насып}}}{S(p_{\text{атм}} - \rho g h)} - B\), где \(B\) — смещение начальной точки. График \(l(X)\), \(X = \dfrac{\rho g h V_{\text{насып}}}{S(p_{\text{атм}} - \rho g h)}\), даёт \(\alpha \approx 0{,}49\).
зад 2 Лампочка — гори!
Внутри лампы накаливания находится нить, сделанная из вольфрама — тугоплавкого металла, удельное сопротивление \(\rho\) которого сильно зависит от его температуры \(T\) (см. таблицу). Для проведения необходимых измерений используйте выданный Вам комплект, состоящий из последовательно соединённых между собой элементов: лампы накаливания, постоянного резистора, переменного резистора и батарейки. При расчётах считайте, что комнатная температура равна 300 К, а тепловым расширением вольфрама можно пренебречь.
Оборудование: комплект для измерений с лампочкой, тремя контактами и выведенными наружу переменным резистором и колодкой для батарейки (схема соединения изображена на рисунке); батарейка; мультиметр (в режиме вольтметра и омметра) с щупами; три листа миллиметровой бумаги для построения графиков.
Комплект для измерений не разбирать! Горящую лампу руками не трогать! Во избежание разряда батарейки не держите цепь замкнутой, когда не производите измерений! Режимом амперметра пользоваться запрещено! Перед измерениями в режиме омметра необходимо отсоединить от цепи батарейку! В данной задаче расчёт погрешностей не требуется.
Основываясь на приведённой таблице, постройте график зависимости \(\rho/\rho_0\) от температуры нити \(T\), где \(\rho\) — удельное сопротивление вольфрама при температуре \(T\), \(\rho_0\) — его удельное сопротивление при комнатной температуре \(T_0\).
Найдите сопротивление «холодной» лампы (сопротивление при комнатной температуре).
Экспериментально получите зависимость мощности \(P\), выделяемой на лампе, от температуры вольфрамовой нити \(T\), сняв не менее 15 точек. Постройте график полученной зависимости.
Основываясь на построенном в пункте 3 графике, сделайте обоснованный вывод о справедливости или несправедливости закона Ньютона–Рихмана \(P \sim (T - T_0)\). В случае, если он справедлив только для некоторого диапазона температур, укажите этот диапазон.
Предполагая, что при больших температурах характер зависимости \(P(T)\) имеет вид \(P \sim T^n\), определите \(n\). Считайте, что \(n\) может принимать одно из целочисленных значений: 1, 2, 4 или 6.
▶ПодсказкаСкрыть
Сопротивление лампы находите из отношения напряжений на лампе и на последовательном резисторе; температуру по найденному отношению \(R_\text{л}/R_0\) и графику \(\rho/\rho_0(T)\). Для степенной зависимости удобно перейти к логарифмам.
▶ОтветСкрыть
2) \(R_0 = 34{,}0\text{ Ом}\); 4) закон Ньютона–Рихмана формально справедлив примерно до \(550\)–\(700\) К (по двум способам проверки); 5) \(n = 4\). Пункты 1 и 3 — графики.
▶РешениеСкрыть
Пункт 1. По таблице вычисляем \(\rho/\rho_0\) (с \(\rho_0\) при \(T_0 = 300\) К) и строим график зависимости от \(T\). Значения: \(T = 300\dots2900\) К, \(\rho/\rho_0 = 1{,}00;\ 1{,}85;\ 2{,}79;\ 3{,}78;\ 4{,}82;\ 5{,}89;\ 6{,}99;\ 8{,}12;\ 9{,}27;\ 10{,}45;\ 11{,}65;\ 12{,}87;\ 14{,}11;\ 15{,}36\) (для \(T = 300, 500, \dots, 2900\) К соответственно). Зависимость близка к линейной.
Пункт 2. Переключаем мультиметр в режим омметра и, не замыкая цепь (батарейка отсоединена), измеряем сопротивление лампы при комнатной температуре: \(R_0 = 34{,}0\) Ом.
Пункт 3. Последовательно с лампой соединяем постоянный резистор \(r = 81{,}3\) Ом (измерено омметром без батарейки). Ставим реостат на максимум, замыкаем цепь и, уменьшая сопротивление реостата, измеряем напряжение на лампе \(U_{\text{л}}\) и на резисторе \(U_r\). Мощность на лампе \(P = U_{\text{л}}I = \dfrac{U_{\text{л}}U_r}{r}\), сопротивление лампы \(R_{\text{л}} = U_{\text{л}}/I\), отношение \(\dfrac{R_{\text{л}}}{R_0} = \dfrac{U_{\text{л}}}{U_r}\cdot\dfrac{r}{R_0}\). По графику пункта 1 находим \(T\) для каждого значения \(R_{\text{л}}/R_0\). Результаты (верхний блок таблицы): \(U_{\text{л}} = 0{,}07\dots1{,}29\) В, \(P = 0{,}14\dots10{,}98\) мВт, \(T = 310\dots1030\) К; (нижний блок): \(U_{\text{л}} = 1{,}85\dots7{,}07\) В, \(P = 19{,}02\dots151{,}7\) мВт, \(R_{\text{л}}/R_0 = 5{,}29\dots9{,}69\), \(T = 1190\dots1960\) К. Строим график \(P(T)\) по всем точкам.
Пункт 4. График \(P(T)\) нелинейный. Чтобы проверить закон \(P = k(T - T_0)\), используем два способа. Способ 1: строим \(P(T)\) в диапазоне 300–1100 К, проводим касательную в точке \(T = T_0\); закон формально справедлив примерно до 550 К. Способ 2: отношения \(P/(T - T_0)\) для точек диапазона 300–1100 К примерно одинаковы до 680 К (первую точку отбрасываем как имеющую наибольшую погрешность), то есть до 700 К. Второй способ грубее, так как заметное отклонение графика от прямой на больших удалениях от \(T_0\) может давать несущественную разницу в \(P/(T - T_0)\).
Пункт 5. Выбираем точки с \(T \geqslant 800\) К (11 точек), составляем таблицу \(\ln T\), \(\ln P\) (температуру берём в сотнях кельвинов, мощность — в милливаттах). По наклону прямой \(\ln P(\ln T)\) получаем \(n = 4{,}0\). Так как точки лежат на прямой, показатель степени \(n = 4\); проверка по отдельным парам точек \((T_1/T_2)^n = P_1/P_2\) с \(T_1 = 1960\) К дает наиболее близкое значение \(n = 4\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2024/25, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.