зад 1 Крупа в шприце
Оборудование: шприц 20 мл; пластиковая трубка; крупа в пластиковом стаканчике; мерная лента; канцелярский зажим; штатив с лапкой; 2 листа миллиметровой бумаги для построения графиков; малярный скотч (по требованию); пластиковая ёмкость с водой (воду можно попросить долить); салфетки или бумажные полотенца для поддержания чистоты рабочего места.
Задание. С помощью выданного оборудования измерьте:
площадь внутреннего поперечного сечения трубки \(S\) и оцените её погрешность \(\Delta S\);
атмосферное давление \(p_{\text{атм}}\).
Достаньте поршень из шприца. Если шприц внутри влажный, то тщательно удалите воду салфеткой. Поместите некоторое количество крупы в этот шприц. Верните поршень на место.
Внимание! Зерна крупы очень быстро намокают и увеличивают свой объём, поэтому их НЕЛЬЗЯ мочить. Решения, допускающие контакт крупы с водой, не будут оцениваться. Дополнительные порции крупы выдаваться не будут.
Определите пустотность \(\alpha\) крупы, т. е. отношение объёма воздуха между зёрнами к полному (насыпному) объёму, занимаемому крупой: \(\alpha = \dfrac{V_{\text{возд}}}{V_{\text{насып}}}\).
Примечание 1. При выполнении работы отдельные компоненты из перечня оборудования можно размещать как на столе, так и на полу.
Примечание 2. Погрешность в задаче требуется оценить только для площади поперечного сечения трубки в пункте 1.
Примечание 3. Плотность воды считайте равной \(\rho = 1000\text{ кг/м}^3\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\text{ м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Объём воды в трубке известен по шкале шприца, а её длина даёт сечение. Для давления воспользуйтесь законом Бойля — Мариотта для воздуха в шприце при разных положениях поршня и столба жидкости в трубке.
▶ОтветСкрыть
1) \(S \approx 12{,}6\text{ мм}^2\), \(\Delta S = 0{,}5\text{ мм}^2\); 2) \(p_{\text{атм}} \approx 96\text{ кПа}\); 3) \(\alpha \approx 0{,}49\).
▶РешениеСкрыть
Площадь сечения. Набираем в шприц воду, присоединяем трубку и заполняем её водой объёмом \(V = 14\) мл без воздушных промежутков. Измеряем длину заполненного участка \(L\); тогда \(S = V/L\). Три измерения дают \(L_{\text{ср}} = 111{,}3\) см, отсюда \(S = 12{,}6\) мм\(^2\).
Погрешность. Систематическая погрешность длины \(\Delta L_{\text{сист}} = 2\) мм (при аккуратных измерениях, иначе добавляется около 3 мм), случайная \(\Delta L_{\text{случ}} = \dfrac{1}{n}\sum|L_i - L_{\text{ср}}| = 2\) мм. Итоговая \(\Delta L = \sqrt{\Delta L_{\text{случ}}^2 + \Delta L_{\text{сист}}^2}\approx 3\) мм, \(\varepsilon_L = 0{,}3\%\). Погрешность объёма — половина цены деления шприца: \(\Delta V = 0{,}5\) мл, \(\varepsilon_V = 3{,}6\%\). Так как \(\varepsilon_V \gg \varepsilon_L\), \(\varepsilon_S \approx \varepsilon_V\), откуда \(\Delta S = \varepsilon_S S = 0{,}5\) мм\(^2\).
Атмосферное давление. Поршень шприца устанавливаем на отметку \(V_0 = 20\) мл, поднимаем шприц вдоль мерной ленты и измеряем высоту столба воды в трубке \(h\) и длину участка с воздухом \(l\). Температура воздуха не меняется: \(p_{\text{атм}}V_0 = (p_{\text{атм}} - \rho g h + \Delta p)(V_0 + Sl + \Delta V)\). Отсюда \(\rho g h = p_{\text{атм}}\dfrac{Sl}{V_0+Sl} + A\), где \(A \approx\) const — смещение начальной точки из-за стыковки шприца с трубкой. График \(\rho g h(Y)\), \(Y = \dfrac{Sl}{V_0 + Sl}\), линеен; по нему \(p_{\text{атм}}\approx 96\) кПа.
Пустотность. В шприц объёмом 20 мл насыпаем \(V_{\text{насып}} = 20\) мл крупы и плотно прижимаем поршнем. Аналогично измеряем \(h\) и \(l\). Температура постоянна: \(p_{\text{атм}}V_{\text{возд}} = (p_{\text{атм}} - \rho g h)(V_{\text{возд}} + Sl)\), а с учётом \(V_{\text{возд}} = \alpha V_{\text{насып}}\) получаем \(l = \alpha\,\dfrac{\rho g h\,V_{\text{насып}}}{S(p_{\text{атм}} - \rho g h)} - B\), где \(B\) — смещение начальной точки. График \(l(X)\), \(X = \dfrac{\rho g h V_{\text{насып}}}{S(p_{\text{атм}} - \rho g h)}\), даёт \(\alpha \approx 0{,}49\).
зад 2 Лампочка — гори!
Оборудование: комплект для измерений с лампочкой, тремя контактами и выведенными наружу переменным резистором и колодкой для батарейки (схема соединения изображена на рисунке); батарейка; мультиметр (в режиме вольтметра и омметра) с щупами; три листа миллиметровой бумаги для построения графиков.
Задание. Внутри лампы накаливания находится нить, сделанная из вольфрама — тугоплавкого металла, удельное сопротивление \(\rho\) которого сильно зависит от его температуры \(T\) (см. таблицу). Для проведения необходимых измерений используйте выданный Вам комплект, состоящий из последовательно соединённых между собой элементов: лампы накаливания, постоянного резистора, переменного резистора и батарейки. При расчётах считайте, что комнатная температура равна 300 К, а тепловым расширением вольфрама можно пренебречь.
Комплект для измерений не разбирать! Горящую лампу руками не трогать! Во избежание разряда батарейки не держите цепь замкнутой, когда не производите измерений! Режимом амперметра пользоваться запрещено! Перед измерениями в режиме омметра необходимо отсоединить от цепи батарейку! В данной задаче расчёт погрешностей требуется только в последнем пункте.
Основываясь на приведённой таблице, постройте график зависимости \(\rho/\rho_0\) от температуры нити \(T\), где \(\rho\) — удельное сопротивление вольфрама при температуре \(T\), \(\rho_0\) — его удельное сопротивление при комнатной температуре \(T_0\).
Найдите сопротивление «холодной» лампы (сопротивление при комнатной температуре).
Экспериментально получите зависимость мощности \(P\), выделяемой на лампе, от температуры вольфрамовой нити \(T\), сняв не менее 15 точек. Занесите результаты прямых измерений и расчётов в таблицу.
Предполагая, что при больших температурах (\(T \geqslant 800\) К) характер зависимости \(P(T)\) имеет вид \(P \sim T^n\), где \(n\) — целое число, определите величину \(n\). Постройте график этой зависимости в таких координатах, где она имеет линейный вид.
Определите площадь излучающей поверхности нити накаливания лампы, используя данные справочника: вольфрамовая пластина площадью 1 см\(^2\) при температуре 2000 К излучает мощность \(22{,}5\text{ Вт}\) (суммарно по всем частотам). Считайте, что вся потребляемая лампой мощность уходит на излучение. Оцените погрешность результата.
▶ПодсказкаСкрыть
Сопротивление лампы находите из отношения напряжений на лампе и на последовательном резисторе; температуру по найденному отношению \(R_\text{л}/R_0\) и графику \(\rho/\rho_0(T)\). Для степенной зависимости удобно перейти к логарифмам. Мощность излучения пропорциональна площади излучающей поверхности.
▶ОтветСкрыть
2) \(R_0 = 34{,}0\text{ Ом}\); 4) \(n = 4\); 5) \(S = 0{,}73\text{ мм}^2\), \(\Delta S = 0{,}04\text{ мм}^2\). Пункты 1 и 3 — график и таблица.
▶РешениеСкрыть
Пункты 1–4 — по официальному решению 10-E2 (тот же эксперимент и те же данные).
Пункт 1. По таблице вычисляем \(\rho/\rho_0\) (с \(\rho_0\) при \(T_0 = 300\) К) и строим график зависимости от \(T\). Значения \(\rho/\rho_0\) для \(T = 300, 500, \dots, 2900\) К: \(1{,}00;\ 1{,}85;\ 2{,}79;\ 3{,}78;\ 4{,}82;\ 5{,}89;\ 6{,}99;\ 8{,}12;\ 9{,}27;\ 10{,}45;\ 11{,}65;\ 12{,}87;\ 14{,}11;\ 15{,}36\).
Пункт 2. Переключаем мультиметр в режим омметра и, не замыкая цепь (батарейка отсоединена), измеряем сопротивление лампы при комнатной температуре: \(R_0 = 34{,}0\) Ом.
Пункт 3. Последовательно с лампой соединяем постоянный резистор \(r = 81{,}3\) Ом (измерено омметром без батарейки). Ставим реостат на максимум, замыкаем цепь и, уменьшая сопротивление реостата, измеряем напряжение на лампе \(U_{\text{л}}\) и на резисторе \(U_r\). Мощность на лампе \(P = U_{\text{л}}I = \dfrac{U_{\text{л}}U_r}{r}\), сопротивление лампы \(R_{\text{л}} = U_{\text{л}}/I\), отношение \(\dfrac{R_{\text{л}}}{R_0} = \dfrac{U_{\text{л}}}{U_r}\cdot\dfrac{r}{R_0}\). По графику пункта 1 находим \(T\) для каждого значения \(R_{\text{л}}/R_0\). Результаты: \(U_{\text{л}} = 0{,}07\dots1{,}29\) В, \(P = 0{,}14\dots10{,}98\) мВт, \(T = 310\dots1030\) К (первый блок); \(U_{\text{л}} = 1{,}85\dots7{,}07\) В, \(P = 19{,}02\dots151{,}7\) мВт, \(R_{\text{л}}/R_0 = 5{,}29\dots9{,}69\), \(T = 1190\dots1960\) К (второй блок). Заносим все значения в таблицу.
Пункт 4. Для точек с \(T \geqslant 800\) К (11 точек) составляем таблицу \(\ln T\), \(\ln P\) (температуру берём в сотнях кельвинов, мощность — в милливаттах). Строим прямую \(\ln P(\ln T)\): её угловой коэффициент \(n = 4{,}0\). Проверка по парам точек: \((T_1/T_2)^n = P_1/P_2\) при \(T_1 = 1960\) К дает наиболее близкое значение \(n = 4\).
Пункт 5. Экстраполируем прямую в \(\ln(T/100) = \ln 20 = 2{,}996\) (температура 2000 К немного выходит за диапазон измерений): \(\ln P = 5{,}1\), то есть \(P \approx 164\) мВт. Излучаемая мощность пропорциональна площади излучения: \(S = \dfrac{P}{22{,}5\text{ Вт/см}^2} \approx 0{,}0073\text{ см}^2 = 0{,}73\text{ мм}^2\).
Погрешность. Точку находили из графика, поэтому \(\Delta \ln P = 0{,}05\) (половина цены деления), \(\Delta P = 0{,}05P \approx 8{,}2\) мВт. Из равенства относительных погрешностей \(\varepsilon_P = \varepsilon_S\): \(\Delta S = 0{,}05\cdot 0{,}73 \approx 0{,}04\) мм\(^2\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2024/25, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.