ВсОШ, 2024/25, региональный этап, 7 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Масса фигуры пропорциональна её площади при одинаковой толщине картона, поэтому отношение масс даёт отношение площадей. Сравните полученную прямую с формулой площади сектора.

Ответ

3) \(k = 0{,}5\);  4) \(2\pi \approx 6{,}28\) рад в полном круге;  5) \(A = \dfrac{360^\circ}{6{,}28}\,\alpha\);  6) \(\approx 39{,}4^\circ\).

Решение

Вырезаем из картона круги и квадраты, взвешиваем по 5 штук и усредняем. Квадрат: \(1{,}86\) г на 5 штук, т. е. \(0{,}372\) г; круг: \(5{,}84\) г на 5 штук, т. е. \(1{,}168\) г; отношение масс круга и квадрата \(\approx 3{,}14\).

Вырезаем из картона секторы с углами от 1,5 до 7 рад и взвешиваем их (масса сектора и отношение \(M_{\text{сектора}}/M_{\text{квадрата}}\), \(\alpha\) в рад): \(1{,}5\) — \(0{,}28\) г, \(0{,}75\); \(2\) — \(0{,}36\) г, \(0{,}97\); \(2{,}5\) — \(0{,}45\) г, \(1{,}21\); \(3\) — \(0{,}53\) г, \(1{,}42\); \(3{,}5\) — \(0{,}61\) г, \(1{,}64\); \(4\) — \(0{,}76\) г, \(2{,}04\); \(4{,}5\) — \(0{,}84\) г, \(2{,}26\); \(5\) — \(0{,}95\) г, \(2{,}55\); \(5{,}5\) — \(1{,}00\) г, \(2{,}69\); \(6\) — \(1{,}08\) г, \(2{,}90\); \(7\) — \(1{,}28\) г, \(3{,}44\). Для точности взвешивание для одного угла можно повторять на разных секторах и усреднять.

Пункт 2. График выходит из начала координат (при нулевой массе сектора отношение равно нулю) и линеен:

Пункт 3. Теоретически \(\dfrac{M_{\text{сектора}}}{M_{\text{квадрата}}} = \dfrac{\sigma k\alpha R^2}{\sigma R^2} = k\alpha\). По графику \(k = \dfrac{4}{8} = 0{,}5\), так что \(S_{\text{сектора}} = 0{,}5\,\alpha R^2\).

Пункт 4. С учётом массы круга в полном круге примерно \(6{,}28\) рад, и \(6{,}28\) рад равны \(360^\circ\).

Пункт 5. Формула перевода радианов в градусы: \(A = \dfrac{360^\circ}{6{,}28}\,\alpha\) (\(A\) — угол в градусах).

Пункт 6. Вырезаем из круга сектор с углом, в пять раз меньшим угла большого сектора (см. распечатку), делаем из него шаблон и вырезаем по нему сектор из картона; его масса \(0{,}64\) г, масса сектора с нужным углом в 5 раз меньше: \(0{,}128\) г. С учётом \(\alpha = \dfrac{M_{\text{сектора}}}{0{,}5\,M_{\text{квадрата}}}\): \(\beta = 2\cdot\dfrac{0{,}128}{0{,}372} \approx 0{,}69\) рад \(\approx 39{,}4^\circ\).

Подсказка

Масса листа и его линейные размеры дают первые две плотности. Для третьей вычтите из полного объёма объём всех ячеек; объём одной ячейки удобно найти, заполняя её водой из шприца.

Ответ

1) \(\sigma \approx 1{,}1\text{ г/см}^2\);  2) \(\rho_{\text{тела}} \approx 0{,}18\text{ г/см}^3\);  3) \(\rho_{\text{мат-ла}} \approx 1{,}12\text{ г/см}^3\).

Решение

Масса пластины \(m = 7{,}5\) г. Линейные размеры: ширина \(L = 11{,}3\) см (поперёк внутренних полостей), высота \(H = 6\) см (вдоль полостей). Толщину \(b\) находим, сложив три листа и разделив суммарную толщину на количество листов: \(b = 0{,}6\) см.

Поверхностная плотность: \(\sigma = \dfrac{m}{S} = \dfrac{m}{LH} \approx \dfrac{7{,}5\text{ г}}{11{,}3\text{ см}\cdot 0{,}6\text{ см}} \approx 1{,}1\text{ г/см}^2\).

Объёмная плотность: \(\rho_{\text{тела}} = \dfrac{m}{V_{\text{весь}}} = \dfrac{m}{L\cdot H\cdot b} \approx \dfrac{7{,}5\text{ г}}{11{,}3\cdot 6{,}1\cdot 0{,}6\text{ см}^3} \approx 0{,}18\text{ г/см}^3\).

Плотность материала. Объём пластика: \(V_{\text{пласт}} = V_{\text{весь}} - NV_0\), где \(N = 20\) — число ячеек. Объём одной ячейки \(V_0\) находим шприцем: закрываем ячейку пальцем с одной стороны, наливаем в неё воду и по разности объёма набранной и оставшейся воды определяем \(V_0\); усредняем по 5–7 ячейкам. Если объёмы отличаются не более чем на цену деления шприца, их усредняем; если более чем на две цены деления, промеряем все ячейки и складываем. Способ 2 — взвешиванием шприца до и после заполнения ячейки водой: разность масс в граммах, делённая на плотность воды в г/см\(^3\), даёт объём ячейки в см\(^3\). Получено \(V_0 = 1{,}7\) см\(^3\), тогда \(\rho_{\text{мат-ла}} = \dfrac{m}{V_{\text{пласт}}} = \dfrac{7{,}5\text{ г}}{(40{,}68 - 20\cdot 1{,}7)\text{ см}^3} \approx 1{,}12\text{ г/см}^3\).