ВсОШ, 2024/25, региональный этап, 8 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Плотность жидкости — масса, делённая на объём; для утёнка проще измерить внешний объём по силе Архимеда (разность показаний весов), а внутренний — заполнив полость водой.

Ответ

1) \(\rho \approx 1073\) кг/м\(^3\);  2) \(\rho_{ср} \approx 337\) кг/м\(^3\);  3) \(\rho_м \approx 1380\) кг/м\(^3\).

Решение

Плотность жидкости. Измеряем массу пустого шприца \(m_ш = 11{,}26\) г, затем заполняем его неизвестной жидкостью объёмом \(V_ж = 20\) мл и взвешиваем. Плотность \(\rho = \dfrac{M - m_ш}{V_ж}\). Результаты пяти измерений массы шприца с жидкостью \(M\) (г): 32,70; 32,78; 32,74; 32,65; 32,71. Среднее \(M_{ср} = 32{,}72\) г, тогда \[\rho = \frac{(32{,}72 - 11{,}26)\cdot 10^{-3}}{20\cdot 10^{-6}} = 1073 \text{ кг/м}^3.\]

Материал утёнка. Нужно измерить массу утёнка \(m\), внешний объём \(V_{вне}\) и объём полости \(V_{вну}\). Масса утёнка с вынутой «пищалкой» равна 4,34 г, с пищалкой — 4,47 г. Здесь и далее измеряются параметры утёнка, рекомендованного для данной задачи в списке оборудования; параметры утёнка, предложенного участникам в регионах, могут быть другими.

Внешний объём определяем гидростатическим взвешиванием. Стаканчик с жидкостью ставим на весы (показание \(M_1 = 153{,}64\) г), двумя зубочистками полностью погружаем утёнка, не касаясь стенок, и записываем показание \(M_2\). Так как разность \(M_2 - M_1\) равна силе Архимеда, делённой на \(g\), то \(\rho V_{вне} = M_2 - M_1\). Результаты пяти измерений \(M_2\) (г): 166,68; 167,78; 166,74; 167,98; 168,12; среднее \(M_2 = 167{,}46\) г. Тогда \[V_{вне} = \frac{(167{,}46 - 153{,}64)\cdot 10^{-3}}{1073} = 12{,}89 \text{ мл}, \qquad \rho_{ср} = \frac{m}{V_{вне}} \approx 337 \text{ кг/м}^3.\]

Внутренний объём определяем заполнением полости обычной водой: утёнка полностью погружаем в воду, несколько раз сжимаем и даём восстановить форму, чтобы убрать воздушные полости, и взвешиваем. Среднее значение массы заполненного водой утёнка 14,08 г: \[V_{вну} = \frac{(14{,}08 - 4{,}34)\cdot 10^{-3}}{1000} = 9{,}74 \text{ мл}.\]

Плотность материала: \[\rho_м = \frac{m}{V_{вне} - V_{вну}} = \frac{4{,}34\cdot 10^{-3}}{(12{,}89 - 9{,}74)\cdot 10^{-6}} \approx 1380 \text{ кг/м}^3.\]

Подсказка

Центр масс найдите подвешиванием фигуры на нити за разные точки: линии отвеса пересекутся в центре масс. Массу гайки сравните с массой фигуры через правило моментов.

Ответ

1) \(x = 9{,}1 \pm 0{,}2\) см, \(y = 5{,}8 \pm 0{,}2\) см;  2) \(M_{ср} \approx 5{,}5\) г.

Решение

Центр масс. Фигуру подвешиваем за любую точку на нитке с гайкой, которая задаёт линию отвеса, и отмечаем её направление. Повторив это для нескольких точек, получаем область пересечения отвесных линий — это и есть центр масс. Погрешность оцениваем как радиус этой области. Лист бумаги при подвешивании изгибается, поэтому точность выше, если сначала перенести фигуру на картон, найти на нём область центра масс и затем перенести её на бумагу с миллиметровой сеткой. Получено: \(x = 9{,}1 \pm 0{,}2\) см, \(y = 5{,}8 \pm 0{,}2\) см.

Масса гайки. Масса бумажной фигуры \(m_0 = \sigma_0 S\), картонной \(m = \sigma S\). Площадь фигуры \(S\) находим методом палетки (клетки 1 см\(^2\)): \(S = 256 S_0 + \dfrac{1}{2}\cdot 57 S_0 = 284{,}5\) см\(^2\). Тогда \(m_0 = 2{,}28\) г, \(m = 7{,}28\) г.

Гайку подвешиваем к фигуре в разных точках, помещаем рычаг на край стола так, чтобы гайка висела свободно, и определяем крайнее положение точки опоры, при котором рычаг остаётся горизонтальным. Правило моментов для крайнего положения даёт \(mgl = MgL\), откуда \(L = \dfrac{m}{M}\,l\). Тогда \(M = \dfrac{m}{k}\), где \(k\) — угловой коэффициент графика \(L(l)\).

Из графика \(k = \dfrac{\Delta L}{\Delta l} = \dfrac{7{,}9}{6{,}0} = 1{,}32\), поэтому \(M = \dfrac{7{,}28}{1{,}32} = 5{,}52\) г.

Для повышения точности проводили несколько измерений (не менее пяти) при максимально возможных плечах и по формуле \(M = m\,\dfrac{l_{\text{листа}}}{l_{\text{гайки}}}\) рассчитывали массу гайки. Пять измерений дали 5,53; 5,44; 5,69; 5,62; 5,46 г, среднее \(M_{ср} = 5{,}55\) г.