зад 1 Цепная линия
Оборудование: металлическая цепочка массой \(m = (10{,}7 \pm 0{,}2)\) г; мерная лента; лист ДВП; штатив с муфтой и лапкой, в которой зажато крепление для цепочки; два листа миллиметровой бумаги для построения графиков.
Задание. На горизонтальной белой поверхности листа ДВП (далее будем называть эту поверхность «рабочей») расположите выданную Вам цепочку так, как показано на рис. 1. Здесь \(H\) — высота точки крепления цепочки над рабочей поверхностью, \(s\) — длина горизонтальной части цепочки в положении, когда она находится в равновесии при максимально удалённом от штатива свободном конце. Обе части цепочки — и горизонтальная, и висящая в воздухе — должны находиться в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку крепления цепочки к лапке штатива. Убедитесь, что цепочка не перекручена и на ней нет узлов или заломов.
Цепочку можно считать однородной. Ускорение свободного падения равно \(g = (9{,}80 \pm 0{,}05)\) м/с\(^2\).
Отсоединять цепочку от лапки штатива и перемещать штатив запрещено!
Измерьте длину \(L\) выданной цепочки. Оцените погрешность полученного значения.
Экспериментально исследуйте зависимость длины \(s\) горизонтальной части цепочки от высоты \(H\) точки её крепления над рабочей поверхностью. Снимите не менее 15 точек.
Выведите формулу теоретической зависимости, связывающей \(H\), \(s\) и \(\mu\) — коэффициент трения звеньев цепочки о рабочую поверхность.
Используя экспериментальные данные и результат пункта 3, постройте график зависимости, связывающей \(s\) и \(H\). Выберите величины, откладываемые по осям, таким образом, чтобы полученный график был прямой линией.
С помощью графика, построенного в пункте 4, определите коэффициент трения \(\mu\) между звеньями цепочки и рабочей поверхностью. Оцените погрешность полученного значения.
Используя экспериментальные значения, полученные в пункте 2, и применяя экстраполяцию, постройте график зависимости \((L - s)\) от \(H\) во всём диапазоне \(H \in [0; L]\).
С помощью полученного в пункте 6 графика вычислите работу \(A\), которую совершает сила, действующая на цепочку со стороны крепления, при медленном подъёме точки крепления от высоты \(H_1 = 30{,}0\) см до \(H_2 = L\). Оцените погрешность полученного значения. В данном пункте считайте, что в процессе перемещения точка крепления цепочки движется строго вертикально.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условия равновесия для висящей части (с натяжением в точке крепления) и для лежащей части (с силой трения). Сравните натяжение, найденное двумя способами: через силы и через работу при малом подъёме точки крепления.
▶ОтветСкрыть
1) \(L = (99{,}8 \pm 0{,}2)\) см; 3) \(H = \sqrt{(L - s)^2 + \mu^2 s^2} - \mu s\), или \(\dfrac{(L-s)^2}{H^2} - 1 = 2\mu\dfrac{s}{H}\); 5) \(\mu = 0{,}14 \pm 0{,}01\); 7) \(A \approx (50{,}5 \pm 2)\) мДж.
▶РешениеСкрыть
Длину цепочки измеряем мерной лентой, предварительно вынув лапку из крепления или развернув её так, чтобы цепочка висела вертикально: \(L = (99{,}8 \pm 0{,}2)\) см.
Таблица измерений \(s(H)\) (не менее 15 точек) приведена в официальном решении (sol-phys-10-prak-final-24-25.pdf). Обозначим \(l = L - s\) — длину висящей части, \(m_1 = m\,l/L\) — её массу, \(m_2 = m\,s/L\) — массу горизонтального участка.
Для горизонтальной части \(N = m_2 g\), \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g s/L\). Для висящей части \(T_1\cos\alpha = T_2 = \mu m g s/L\), \(T_1\sin\alpha = m_1 g = m g l/L\), откуда \(T_1 = \dfrac{mg}{L}\sqrt{l^2 + \mu^2 s^2}\).
Метод виртуальных перемещений (смещение висящей части вдоль неё на \(\Delta x\)) даёт \(T_1 - T_2 = mgH/L\). Подставляя \(T_1\) и \(T_2\): \[H = \sqrt{(L - s)^2 + \mu^2 s^2} - \mu s .\] Перепишем: \((H + \mu s)^2 = l^2 + \mu^2 s^2\), откуда \[\left(\frac{l}{H}\right)^2 - 1 = 2\mu\,\frac{s}{H}.\] Значит, при откладывании \(s/H\) по одной оси и \((l/H)^2 - 1\) по другой график линеен и проходит через начало координат с наклоном \(k = 2\mu\).
По экспериментальным точкам (миллиметровка, рис. 3 официального решения) наклон \(k = 0{,}28\), откуда \(\mu = 0{,}14\); методом границ \(\Delta k \approx 0{,}02\), \(\Delta\mu \approx 0{,}01\).
Для пункта 6 строим \(l(H)\) по экспериментальным точкам и добавляем теоретические: при \(H = 0\) цепочка лежит на поверхности, \(l = 0\); при \(H = L\) цепочка висит вертикально, \(l = L\). Сглаживающая кривая дана на рис. 4 официального решения.
Работа силы натяжения при малом подъёме \(\Delta H\): \(\Delta A = T_1\sin\alpha\,\Delta H = \dfrac{mg}{L}\,l\,\Delta H\), то есть \(A = \dfrac{mg}{L}\,S\), где \(S\) — площадь под графиком \(l(H)\) между \(H_1\) и \(H_2\). На участке, близком к прямой, \(S = \dfrac{l(H_1) + l(H_2)}{2}(H_2 - H_1) = \dfrac{38 + 99{,}8}{2}\cdot 69{,}8 \approx 4809\) см\(^2\), отсюда \(A \approx 50{,}5\) мДж.
Относительная погрешность: \(\varepsilon_m \approx 1{,}87\%\), \(\varepsilon_L \approx 0{,}20\%\), \(\varepsilon_g \approx 0{,}51\%\), \(\varepsilon_S \approx 1{,}2\%\); суммарно \(\varepsilon_A \approx 3{,}8\%\), \(\Delta A \approx 2\) мДж.
зад 2 Трижды два
Оборудование: серый ящик, источник питания, вольтметр (мультиметр со щупами), резистор с известным сопротивлением \(R = (430 \pm 5)\) Ом, потенциометр, макетная плата, 8 соединительных проводов, 2 провода «крокодил–крокодил», миллиметровая бумага для построения графиков.
Серый ящик, схема которого изображена на рисунке, состоит из двух резисторов сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\), нелинейного элемента НЭ и двух ключей — \(K_1\) и \(K_2\). Полярность источника питания, подключённого к серому ящику, указана на рисунке. Внутренним сопротивлением источника, а также сопротивлением проводов можно пренебречь. Вольтметр считайте идеальным.
Обязательно укажите в работе номер выданного пакета с оборудованием. Считайте, что относительная погрешность вольтметра равна \(1\%\).
Внимание!
Ни в коем случае не закорачивайте источник питания (нельзя соединять точки \(B\) и \(C\)) и не подключайте серый ящик напрямую к источнику (нельзя соединять точки \(A\) и \(C\)). Для подачи напряжения на серый ящик подсоедините последовательно к нему в точке \(A\) выданный вам резистор \(R\).
Учтите, что при протекании большого тока через потенциометр он может выйти из строя.
Обратите внимание, что подписи «ON»/«OFF» на ключах \(K_1\) и \(K_2\) не обязательно соответствуют замкнутому и разомкнутому положениям.
Мультиметр можно использовать только в режиме вольтметра.
Определите напряжение источника \(U_0\).
Определите, в каком положении — налево (в сторону вывода \(A\)) или направо (в сторону выводов \(B\) и \(C\)) — ключи в сером ящике замкнуты, а в каком — разомкнуты. Свой ответ обоснуйте.
Найдите значения сопротивлений резисторов \(R_1\) и \(R_2\). В этом пункте построение графиков не обязательно.
Проведите измерения и постройте вольт-амперную характеристику нелинейного элемента. Оценка погрешностей в этом пункте не требуется.
Примечание: макетная плата (см. рис.) используется для соединения проводов и подключения различных элементов. Каждые пять соседних гнёзд макетной платы, расположенные в одном столбце внутри платы, соединены между собой (на рисунке серым цветом отмечен один из таких столбцов). Гнёзда макетной платы, расположенные в двух крайних строках платы с каждой её стороны, промаркированные красным и синим цветами, также соединены между собой.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните токи через резистор \(R\) при разных положениях ключей: при каком положении ключей цепь последовательная, а при каком параллельная? Затем, отключая по одному элементу, найдите сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) по закону Ома.
▶ОтветСкрыть
1) \(U_0 = (9{,}5 \pm 0{,}1)\) В; 2) у обоих ключей вправо — замкнут, влево — разомкнут; 3) \(R_1 = (1196 \pm 40)\) Ом, \(R_2 = (622 \pm 20)\) Ом; 4) ВАХ НЭ — см. график в решении.
▶РешениеСкрыть
Мультиметром в режиме вольтметра между выводами \(B\) и \(C\) измеряем напряжение источника: \(U_0 = (9{,}5 \pm 0{,}1)\) В.
При разомкнутых ключах элементы серого ящика соединены последовательно, при замкнутых — параллельно, поэтому сопротивление максимально при разомкнутых ключах и минимально при замкнутых. Измерения напряжения на сером ящике и на резисторе \(R\) при четырёх положениях ключей дают ток \(I_R = U_{AC}/R\): ключи «лево–лево» — \(I_R \approx 3{,}9\) мА (минимум, последовательное соединение), «право–право» — \(I_R \approx 14{,}3\) мА (максимум, параллельное соединение). Отсюда: верхний ключ вправо — замкнут, влево — разомкнут; нижний ключ вправо — замкнут, влево — разомкнут.
Если \(K_1\) разомкнут, а \(K_2\) замкнут, то \(R_1\) и НЭ закорочены и весь ток идёт через \(R_2\): \(R_2 = R\,U_{AB}/U_{AC} \approx 622\) Ом. Если \(K_1\) замкнут, а \(K_2\) разомкнут, то закорочены \(R_2\) и НЭ, и весь ток идёт через \(R_1\): \(R_1 = R\,U_{AB}/U_{AC} \approx 1196\) Ом. Относительные погрешности складываются, \(\varepsilon_{R_1} = \varepsilon_{R_2} \approx 3\%\), откуда \(R_1 = (1196 \pm 40)\) Ом, \(R_2 = (622 \pm 20)\) Ом.
ВАХ снимаем по схеме рис. 2 официального решения: \(I_{\text{СЯ}} = U_R/R\), \(U_{\text{СЯ}}\) измеряем напрямую. Таблицы ВАХ для последовательного (\(K_1\), \(K_2\) разомкнуты) и параллельного (\(K_1\), \(K_2\) замкнуты) соединений приведены в официальном решении.
ВАХ НЭ в прямом направлении (ключи разомкнуты): \(U_{\text{НЭ}} = U_{\text{СЯ}} - I_{\text{СЯ}}(R_1 + R_2)\), \(I_{\text{НЭ}} = I_{\text{СЯ}}\). В обратном (ключи замкнуты): \(U_{\text{НЭ}} = -U_{\text{СЯ}}\), \(I_{\text{НЭ}} = -\left(I_{\text{СЯ}} - \dfrac{U_{\text{СЯ}}}{R_1} - \dfrac{U_{\text{СЯ}}}{R_2}\right)\). Итоговый график:
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2024/25, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.