ВсОШ, 2025/26, региональный этап, 7 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Объём воды в цилиндрической части равен произведению площади сечения на высоту столба воды. Переверните бутылочку, чтобы измерить высоту воздушного столба. Внешний объём найдите по объёму воды, которую нужно долить до метки, когда бутылочка погружена в стакан.

Ответ

\(S_\text{вну} \approx 10{,}0\) см\(^2\);  \(V_\text{вну} \approx 56{,}0\) мл;  \(S_\text{вне} \approx 12{,}9\) см\(^2\);  \(m \approx 57{,}5\) г;  \(\rho \approx 2{,}3\) г/см\(^3\) (значения из официального решения).

Решение

1) Вода занимает объём \(V_\text{воды} = S_\text{вну}\,x\) в цилиндрической части бутылочки. Измеряем высоту столба воды \(x = 3{,}0\) см, откуда \(S_\text{вну} = 30{,}0~\text{мл}/3{,}0~\text{см} = 10{,}0\) см\(^2\). Переворачиваем бутылочку: воздух занимает цилиндрическую часть, \(V_\text{вну} - V_\text{воды} = S_\text{вну}\,y\), где \(y = 2{,}7\) см. Тогда \(V_\text{вну} = V_\text{воды} + S_\text{вну}\,y = 56{,}0\) мл (эталонный объём на авторской установке — 57 мл).

2) Обматываем цилиндрическую часть бутылочки дважды ниткой; удвоенная длина окружности \(2\pi D = 25{,}5\) см, откуда внешний диаметр \(D = 4{,}06\) см и \(S_\text{вне} = \pi D^2/4 = 12{,}9\) см\(^2\).

3) Взвешиваем бутылочку с водой: \(M = m + \rho_0 V_\text{воды} = 87{,}5\) г, откуда \(m = M - \rho_0 V_\text{воды} = 57{,}5\) г.

4) Внешний объём \(V_\text{вне}\) определяем по объёму воды, которую нужно долить в стакан с водой до метки после погружения бутылочки (показания весов равны добавленной массе воды): \(V_\text{вне} = 81{,}5\) мл. Тогда объём стекла \(V_\text{вне} - V_\text{вну}\) и \[\rho = \frac{m}{V_\text{вне} - V_\text{вну}} = \frac{57{,}5~\text{г}}{81{,}5~\text{мл} - 56{,}0~\text{мл}} \approx 2{,}3~\text{г/см}^3.\]

Подсказка

Масса содержимого шприца складывается из массы фигурок, шприца и жидкости. Угловой коэффициент графика массы от объёма жидкости даёт её плотность. Объём фигурок найдите по положению поршня, когда жидкость полностью заполняет пространство между ними.

Ответ

Масса фигурок \(m_\text{ф} = 5{,}60\) г; плотность неизвестной жидкости \(\rho_\text{ж} \approx 1{,}13\) г/см\(^3\) (по графикам 1,133 и 1,145 г/см\(^3\)); плотность материала фигурок \(\rho_\text{ф} \approx 1{,}24\) г/см\(^3\) (значения из официального решения).

Решение

Масса фигурок: \(m_\text{ф+ш} = 16{,}58\) г, откуда \(m_\text{ф} = 16{,}58 - 10{,}98 = 5{,}60\) г.

1) и 2) Способ 1: набирают жидкость порциями по 1 мл, после каждого набора взвешивают шприц и отмечают объём \(V_0\) по шкале (начальное положение поршня \(V_\text{нач} = 12\) мл). Показания весов \(M = (m_\text{ф} + m_\text{ш}) + \rho_\text{ж}(V_0 - V_\text{нач})\), то есть график \(M(V_0)\) линеен, его угловой коэффициент равен плотности жидкости. Способ 2: в крайнем положении поршня фигурки полностью погружены в жидкость, далее набирают жидкость порциями по 1 мл; здесь \(M = (m_\text{ф} + m_\text{ш} + m_0) + \rho_\text{ж}(V_0 - V_\text{нач})\), где \(m_0\) — масса жидкости, набранной до начала измерений.

3) По графикам: способ 1 даёт \(\rho_\text{ж} = 1{,}133\) г/см\(^3\), способ 2 — \(1{,}145\) г/см\(^3\); реальная плотность жидкости \(1{,}13\) г/см\(^3\).

4) Поршень сдвинули с 12 мл до 20 мл, набрав 8 мл жидкости. Полный объём жидкости и фигурок в шприце после того, как шприц перевернули носиком вверх и аккуратно вдвинули поршень, равен 12,5 мл. Объём фигурок \(V_\text{ф} = 12{,}5 - 8 = 4{,}5\) мл, их плотность \[\rho_\text{ф} = \frac{m_\text{ф}}{V_\text{ф}} = \frac{5{,}60}{4{,}5} \approx 1{,}24~\text{г/см}^3.\] Возможны погрешности из-за пузырьков воздуха, прилипших к фигуркам, и из-за цены деления шприца 1 мл.