Найдите ускорение грузов и силы натяжения нитей в системе, изображённой
на рисунке. Блок и нити невесомы, трения нет.
К задаче 2.1.11.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нить нерастяжима — ускорения грузов равны по модулю; нить и блок невесомы —
натяжение по всей нити одно. Два уравнения Ньютона, сложить и вычесть.
Пусть \(m_1 > m_2\), груз \(m_1\) опускается с ускорением \(a\), тогда
\(m_2\) с тем же \(a\) поднимается. Натяжение нити \(T_1\):
\[ m_1 g - T_1 = m_1 a,\qquad T_1 - m_2 g = m_2 a. \]
Складываем:
\[ (m_1 - m_2)\,g = (m_1 + m_2)\,a
\quad\Longrightarrow\quad
a = g\,\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}. \]
Из второго уравнения:
\[ T_1 = m_2 (g + a) = \frac{2 m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2}. \]
Невесомый блок: нить, держащая его, уравновешивает обе ветви:
\[ T_2 = 2 T_1 = \frac{4 m_1 m_2\,g}{m_1 + m_2}. \]
Проверка. \(m_1 = m_2 = m\): \(a=0\), \(T_1 = mg\),
\(T_2 = 2mg\) ✓. Любопытно: при движении \(T_2 = \frac{4m_1m_2 g}{m_1+m_2}
< (m_1+m_2)g\) — система «легчает», ведь её центр масс ускоряется вниз.
Ответ
\( a = g\,\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \) (\(m_1\) опускается);
\( T_1 = \dfrac{2m_1m_2 g}{m_1+m_2} \); \( T_2 = 2T_1 \).