Для испытания оборудования в условиях невесомости контейнер подбрасывается вверх пневматическим поршневым устройством, находящимся на дне вакуумированной шахты. Поршень действует на контейнер в течение времени \(\Delta t\) с силой \(F = n m g\), где \(m\) — масса контейнера с оборудованием. Через какое время контейнер упадёт на дно шахты? В течение какого времени длится для оборудования состояние невесомости, если \(\Delta t = 0{,}04\) с, \(n = 125\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разгон. Ускорение: \(a = \dfrac{F - mg}{m} = (n-1)g\). За время \(\Delta t\): скорость \(v = (n-1)g\Delta t\), подъём \(h = \tfrac12 (n-1)g\Delta t^2\).
Свободный полёт. С высоты \(h\) со скоростью \(v\) вверх до возвращения на дно: \[ h + v\tau - \frac{g\tau^2}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tau = \frac{v + \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}. \] Подставим \(v\) и \(h\): \(v^2 + 2gh = (n-1)^2g^2\Delta t^2 + (n-1)g^2\Delta t^2 = n(n-1)g^2\Delta t^2\): \[ \tau = \Delta t\left[(n-1) + \sqrt{n(n-1)}\right]. \]
Полное время от старта до удара: \[ t = \Delta t + \tau = \Delta t\left[n + \sqrt{n(n-1)}\right] = n\,\Delta t\left(1 + \sqrt{1 - \tfrac{1}{n}}\right). \]
Числа. \(n\Delta t = 5\) с; \(\sqrt{1 - 1/125} \approx 0{,}996\): \[ t \approx 5\,(1+0{,}996) \approx 10\ \text{с}, \] причём невесомость (\(\tau = t - \Delta t\)) длится практически те же \(\approx 10\) с — разгон занимает лишь сотые доли секунды.