Динамометр состоит из двух цилиндров, соединённых лёгкой пружиной. Найдите
отношение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силах \(F_1\) и
\(F_2\) динамометр показывает силу \(F\).
К задаче 2.1.8.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Силы не уравновешены — динамометр ускоряется, и его показание \(F\) —
это натяжение пружины, «промежуточное» между \(F_1\) и \(F_2\). Уравнения
двух цилиндров и дают отношение масс.
Пусть \(F_1 > F_2\); направим ось в сторону \(F_1\). Общее ускорение:
\[ a = \frac{F_1 - F_2}{m_1 + m_2}. \]
Пружина растянута с силой \(F\) (это и показывает шкала). Для каждого
цилиндра:
\[ m_1 a = F_1 - F,\qquad m_2 a = F - F_2. \]
Проверка. Показание
\(F = \dfrac{m_2 F_1 + m_1 F_2}{m_1+m_2}\) — взвешенное среднее сил: всегда
между \(F_1\) и \(F_2\) ✓. При \(m_2 \gg m_1\): \(F \to F_1\) — лёгкий
цилиндр передаёт свою силу почти целиком ✓.
Ответ
\( \dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{F - F_2}{F_1 - F} \).