Для измерения массы космонавта на орбитальной станции используется подвижное сиденье известной массы \(m_0\), прикреплённое к пружине. При одной и той же начальной деформации (сжатии) пружины пустое сиденье возвращается в исходное положение через время \(t_0\), если же на сиденье находится космонавт — через время \(t > t_0\). Какова масса космонавта?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сравним два «запуска» с одинаковой начальной деформацией. В каждой точке пути сила пружины \(F(x)\) одна и та же, поэтому ускорения обратно пропорциональны массам: \[ \frac{a(x)}{a_0(x)} = \frac{m_0}{m_0 + m}. \] Если все ускорения уменьшить в \(\lambda\) раз, то движение по той же траектории происходит «в замедленной съёмке» с растяжением времени в \(\sqrt{\lambda}\) раз (пути \(\sim a t^2\) должны остаться теми же). Значит, \[ \frac{t}{t_0} = \sqrt{\frac{m_0 + m}{m_0}}. \]
Отсюда масса космонавта: \[ m = m_0\left[\left(\frac{t}{t_0}\right)^2 - 1\right]. \]