Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.6

Задача 2.1.6когда порвётся нить

Условие

Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) связаны нитью, выдерживающей силу натяжения \(T\). К телам приложены силы \(F_1 = \alpha t\) и \(F_2 = 2\alpha t\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(t\) — время действия силы. Определите, в какой момент времени нить порвётся.

К задаче 2.1.6. Силы растут со временем и растягивают нить.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В каждый момент система движется как целое с общим ускорением; натяжение нити находим из уравнения одного из тел. Оно растёт со временем — момент разрыва наступит, когда натяжение доберётся до \(T\).

Направим ось в сторону \(F_1\). Ускорение системы: \[ a = \frac{F_1 - F_2}{m_1 + m_2} = -\frac{\alpha t}{m_1+m_2} \] (система разгоняется в сторону большей силы \(F_2\)).

Уравнение для тела \(m_1\) (на него действуют \(F_1\) вперёд и натяжение \(T'\) назад): \[ m_1 a = F_1 - T' \quad\Longrightarrow\quad T' = \alpha t + m_1\,\frac{\alpha t}{m_1+m_2} = \alpha t\,\frac{2m_1 + m_2}{m_1 + m_2}. \]

Нить рвётся, когда \(T' = T\): \[ t = \frac{T\,(m_1 + m_2)}{\alpha\,(2m_1 + m_2)}. \]

Проверка. Симметричный тест \(m_1 = m_2 = m\): \(T' = \tfrac32\alpha t\) — среднее между \(F_1 = \alpha t\) и \(F_2 = 2\alpha t\) ✓ (нить «несёт» среднюю нагрузку).

Ответ \( t = \dfrac{T\,(m_1+m_2)}{\alpha\,(2m_1+m_2)} \).

Следующая задача 2.1.7 →