Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды \(1{,}02\cdot10^3\) кг/м³.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Данные. \(V=\tfrac43\pi R^3 = \tfrac43\pi\cdot8 = 33{,}5\) м³; \(mg = 35\,000\cdot9{,}8 = 3{,}43\cdot10^5\) Н; \(F_A = \rho gV = 1020\cdot9{,}8\cdot33{,}5 = 3{,}35\cdot10^5\) Н.
Путь центра. Шар лежит на дне — его центр на глубине \(100-2=98\) м. В конце он на борту, то есть его центр на \(3+2=5\) м выше воды. Полный подъём центра \(98+5=103\) м.
Работа силы тяжести (со знаком минус).
\[ A_1 = mg\cdot103 = 3{,}43\cdot10^5\cdot103 = 3{,}533\cdot10^7\ \text{Дж}. \]Работа архимедовой силы. Пока шар целиком под водой, центр идёт от \(-98\) до \(-2\) м, то есть 96 м:
\[ A_2' = F_A\cdot96 = 3{,}35\cdot10^5\cdot96 = 3{,}215\cdot10^7\ \text{Дж}. \]Пока шар вылезает (центр от \(-2\) до \(+2\) м, то есть 4 м), погружённый объём падает от \(V\) до нуля. По симметрии шара средний погружённый объём равен ровно \(V/2\):
\[ A_2'' = \frac{F_A}{2}\cdot4 = 6{,}7\cdot10^5\ \text{Дж}. \]Итог.
\[ A = A_1 - A_2' - A_2'' = 3{,}533\cdot10^7 - 3{,}215\cdot10^7 - 0{,}067\cdot10^7, \] \[ \boxed{A \approx 2{,}5\cdot10^6\ \text{Дж}} \]В условии задачника плотность напечатана как «1,02 кг/м³» — очевидная опечатка, имеется в виду \(1{,}02\cdot10^3\) кг/м³ ✓.