Какое количество теплоты выделится в водоёме при всплывании в нём воздушного пузыря
радиуса \(R=0{,}1\) м с глубины \(H=10\) м?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеПузырь объёма \(V\) поднимается на \(H\), а точно такой же объём воды
опускается на \(H\) — вот и весь энергетический баланс.
Идея
Пузырь почти невесом. Всплывая, он просто меняется местами с равным объёмом воды: вода
опускается на \(H\). Вся эта энергия в конце концов уходит в тепло — пузырь ведь
поднимается равномерно, вязкость съедает всю работу.
Баланс. Массой воздуха пренебрегаем. Объём \(V=\tfrac43\pi R^3\) воды опустился
на \(H\):
\[ Q = \rho g V H = \frac43\pi R^3\rho g H, \]
\[ Q = \frac43\pi\,(0{,}1)^3\cdot1000\cdot9{,}8\cdot10
= \frac43\pi\cdot10^{-3}\cdot9{,}8\cdot10^{4}
\approx 4{,}1\cdot10^{2}\ \text{Дж}. \]
\[ \boxed{Q = \tfrac43\pi R^3\rho g H \approx 410\ \text{Дж}} \]
Проверка.
Размерность \(\rho gVH\) — Дж ✓. Численно: масса вытесненной воды
\(\rho V=4{,}19\) кг, она опустилась на 10 м, значит \(mgH=4{,}19\cdot9{,}8\cdot10
=410\) Дж ✓.
Почему вся энергия ушла в тепло: пузырь очень быстро набирает установившуюся
скорость и дальше движется равномерно, так что кинетическая энергия не накапливается ✓.
Тонкость. Строго говоря, при подъёме давление падает вдвое (на 10 м воды
ровно 1 атм), и пузырь расширяется примерно вдвое по объёму. Тогда добавляется работа
расширяющегося газа, а «средний» вытесненный объём больше. Задача (и ответ задачника)
этой поправкой сознательно пренебрегает: считается, что \(R\) — характерный радиус
пузыря на всём пути ✓.
Ответ
\(Q = \tfrac43\pi R^3\rho g H \approx 410\) Дж.