а. В водоёме с глубины 1 м всплывает деревянный цилиндр радиуса 1 м и высоты 0,2 м. Плотность древесины \(0{,}8\cdot10^3\) кг/м³. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения воды и цилиндра?
б. В цилиндр радиуса \(R\), частично заполненный жидкостью, падает цилиндрическая пробка радиуса \(r\) и высоты \(h\). Начальная высота нижней поверхности пробки над уровнем жидкости \(H\), начальная скорость равна нулю. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения жидкости и пробки? Плотность пробки \(\rho\), плотность жидкости \(\rho_0>\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Начальное и конечное положение. \(V=\pi R^2 h = \pi\cdot1\cdot0{,}2 = 0{,}628\) м³. Плавая, цилиндр сидит на \(x=(\rho_{\text{д}}/\rho_0)h = 0{,}16\) м, значит его центр в конце на глубине \(0{,}16-0{,}1=0{,}06\) м. Вначале центр был на глубине 1 м. Подъём центра: \(0{,}94\) м.
Что делает вода. Освободившееся внизу место (объём \(V\) на глубине 1 м) должна занять вода. Она берётся двумя порциями: \(0{,}8V\) — из того слоя, куда встал цилиндр (средняя глубина \(0{,}08\) м), и \(0{,}2V\) — с самой поверхности (глубина \(\approx0\)), ведь уровень озера чуть опустился.
Энергия.
\[ Q = \underbrace{\rho_0 g\left[V\cdot 1 - 0{,}8V\cdot0{,}08\right]}_{\text{вода опустилась}} - \underbrace{\rho_{\text{д}} V g\cdot 0{,}94}_{\text{цилиндр поднялся}} \] \[ Q = gV\left[1000\cdot0{,}936 - 800\cdot0{,}94\right] = 9{,}8\cdot0{,}628\cdot184 \approx 1{,}1\cdot10^3\ \text{Дж}. \] \[ \boxed{Q \approx 1\ \text{кДж}} \]б. Конечное состояние. Пробка плавает, погрузившись на \(x=h\rho/\rho_0\). Уровень жидкости при этом поднялся на
\[ \Delta = \frac{\pi r^2 x}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2}\,x \](вытесненный объём \(\pi r^2x\) раскладывается по всему сечению \(\pi R^2\)). Обозначим \(k=r^2/R^2\), так что \(\Delta = kx\).
Опускание пробки. Её нижняя грань была на высоте \(H\) над старым уровнем, стала на \(\Delta-x\). Центр опустился на \(H+x-\Delta = H+x(1-k)\). Масса пробки \(m=\rho\pi r^2h\), поэтому
\[ A_{\text{проб}} = \rho\pi r^2 h\,g\,\big[H + x(1-k)\big]. \]Подъём жидкости. Жидкость поднялась: сверху добавился слой толщины \(\Delta\) по всему сечению, но из него вырезана погружённая часть пробки. Прямой подсчёт «момента» даёт прирост энергии
\[ \Delta U_{\text{ж}} = \frac{\pi}{2}\rho_0 g\,r^2x^2(1-k). \](Проверьте: слой \(\pi R^2\Delta\) с центром на \(\Delta/2\) минус вырез \(\pi r^2\) от \(\Delta-x\) до \(\Delta\).)
Собираем. Подставляя \(x=h\rho/\rho_0\):
\[ Q = A_{\text{проб}} - \Delta U_{\text{ж}} = \pi r^2\rho g h H + \pi r^2 g h^2\frac{\rho^2}{\rho_0}(1-k) - \frac{\pi}{2}r^2gh^2\frac{\rho^2}{\rho_0}(1-k), \] \[ \boxed{Q = \pi r^2\rho g h H\left[1+\frac12\,\frac hH\,\frac{\rho}{\rho_0} \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\right]} \]Пункт «а» в этих же обозначениях: там всплывает, а не падает, поэтому знаки другие, но метод тот же ✓.