Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоёв брёвен. Масса каждого бревна \(m\). Верхний слой брёвен погружён в воду наполовину.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сколько выталкивает одно бревно. На пару «верхнее + нижнее» приходится вес \(2mg\), а выталкивающая сила — \(\rho g\pi R^2L\,(1/2+1)\). Отсюда
\[ 2mg = \frac32\,\rho g\pi R^2 L \quad\Longrightarrow\quad \rho\pi R^2L = \frac43 m. \]Значит целиком погружённое бревно выталкивается силой \(\tfrac43 mg\), а наполовину — силой \(\tfrac23 mg\). Итог:
каждое верхнее бревно имеет избыток веса \(mg/3\) вниз;
каждое нижнее — избыток подъёмной силы \(mg/3\) вверх.
Геометрия при расползании. Пусть расстояние между центрами соседних нижних брёвен выросло с \(2R\) до \(2R+\delta\). Верхнее бревно касается обоих, значит расстояние по вертикали между слоями
\[ d = \sqrt{(2R)^2-\frac{(2R+\delta)^2}{4}} = \sqrt{3R^2-R\delta-\ldots} \approx \sqrt3\,R\sqrt{1-\frac{\delta}{3R}} \approx \sqrt3\,R-\frac{\delta}{2\sqrt3}. \]Верхний слой опускается относительно нижнего на \(\Delta d=\dfrac{\delta}{2\sqrt3}\).
Освобождённая энергия. Пусть в каждом слое \(n\) брёвен (плот широкий, \(n\) велико). Верхние опускаются на \(\Delta d\), каждое под действием избытка \(mg/3\):
\[ A = n\,\frac{mg}{3}\cdot\frac{\delta}{2\sqrt3} = \frac{n\,mg\,\delta}{6\sqrt3}. \](Нижние брёвна по вертикали не сдвинулись; общее всплытие плота даёт лишь поправку второго порядка малости.)
Работа против канатов. Ширина плота выросла на \(n\delta\), высота уменьшилась на \(\Delta d\) — для широкого плота это пренебрежимо. Периметр каждого кольца (\(2\times\) ширина \(+\;2\times\) высота) вырос на \(2n\delta\). Канатов два:
\[ A_{\text{кан}} = 2\cdot T\cdot 2n\delta = 4Tn\delta. \]Порог. Плот не расползается, пока канаты съедают всё:
\[ 4Tn\delta = \frac{n\,mg\,\delta}{6\sqrt3} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{T = \frac{mg}{24\sqrt3} = \frac{\sqrt3\,mg}{72}\approx 0{,}024\,mg} \]