Наклон кубической коробки, наполовину погружённой в жидкость, равен \(\alpha\). Определите массу каждого из двух противоположных рёбер коробки. Массой остальных частей коробки пренебречь. Плотность жидкости \(\rho\), длина рёбер коробки \(a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сумма. Погружена половина объёма, значит
\[ m_1+m_2 = \rho\,\frac{a^3}{2}. \]Где ватерлиния. Прямая делит квадрат пополам по площади только если проходит через его центр. Значит ватерлиния проходит через центр \(O\) коробки — примем \(O\) за начало координат, ось \(x\) направим вдоль нижней грани, ось \(y\) — перпендикулярно ей. Квадрат: \(|x|\le a/2\), \(|y|\le a/2\); ватерлиния — прямая \(y = x\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Обозначим \(t=\mathrm{tg}\,\alpha\).
Центр давления \(B\) — школьным способом. Погружённая часть — это нижняя половина квадрата (прямоугольник \(a\times a/2\)), к которой добавлен треугольник справа и у которой отнят такой же треугольник слева:
треугольник с вершинами \((0,0),\ (a/2,0),\ (a/2,at/2)\) — площадь \(a^2t/8\),
центр тяжести \((a/3,\ at/6)\);
симметричный ему относительно \(O\) — отнимается.
Складываем моменты (площади «взвешенные» координатами) и делим на площадь \(a^2/2\):
\[ x_B = \frac{2}{a^2}\left[\frac{a^2t}{8}\cdot\frac a3 + \frac{a^2t}{8}\cdot\frac a3\right] = \frac{at}{6}, \] \[ y_B = \frac{2}{a^2}\left[\frac{a^2}{2}\left(-\frac a4\right) + \frac{a^2t}{8}\cdot\frac{at}{6} + \frac{a^2t}{8}\cdot\frac{at}{6}\right] = -\frac a4 + \frac{at^2}{12}. \]Условие равновесия. Центр тяжести — это два груза на нижней грани: \(m_1\) в точке \((-a/2,-a/2)\), \(m_2\) в точке \((a/2,-a/2)\). Обозначим \(M=m_1+m_2\), \(k=(m_2-m_1)/M\); тогда \(x_G = ak/2\), \(y_G=-a/2\). «Быть на одной вертикали» значит иметь одинаковую проекцию на направление ватерлинии \((1,t)\):
\[ x_G + t\,y_G = x_B + t\,y_B. \] \[ \frac{ak}{2} - \frac{at}{2} = \frac{at}{6} + t\left(-\frac a4+\frac{at^2}{12}\right) = \frac{a\,(t^3-t)}{12}, \] \[ k = t + \frac{t^3-t}{6} = \frac{5t+t^3}{6}. \]Ответ. \(m_{1,2} = \dfrac M2\,(1\mp k)\), \(M=\rho a^3/2\):
\[ \boxed{\;m_2 = \frac{\rho a^3\left(6+5\,\mathrm{tg}\,\alpha+\mathrm{tg}^3\alpha\right)}{24}, \qquad m_1 = \frac{\rho a^3\left(6-5\,\mathrm{tg}\,\alpha-\mathrm{tg}^3\alpha\right)}{24}\;} \]Тяжелее то ребро, которое глубже.