Решите задачу 4.2.17 при условии, что отверстие радиуса \(r\) перекрывается шаром радиуса \(R\), а плотность жидкости равна \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Шар лежит на кромке отверстия, линия касания — окружность радиуса \(r\). Значит центр шара \(C\) поднят над плоскостью дна на
\[ d = \sqrt{R^2-r^2}. \]Сечение шара на высоте \(H\) над дном: \(S(H)=\pi\big(R^2-(H-d)^2\big)\).
Максимум. Условие \(S(H)=\pi r^2\) даёт
\[ R^2-(H-d)^2 = r^2 = R^2-d^2 \quad\Longrightarrow\quad (H-d)^2 = d^2, \]то есть \(H=0\) (там \(F=0\)) или \(H=2d\). Между ними сечение шире отверстия и сила растёт, дальше — убывает. Значит максимум при
\[ H_{*} = 2d = 2\sqrt{R^2-r^2}. \]Заметим: \(2d<d+R\), то есть в этот момент макушка шара ещё торчит из воды.
Объём. Слой шара от \(0\) до \(2d\) симметричен относительно центра, поэтому он равен объёму шара без двух одинаковых сегментов высоты \(R-d\):
\[ V_{0\to 2d} = \frac43\pi R^3 - 2\cdot\frac{\pi (R-d)^2(2R+d)}{3}. \]Раскроем: \((R-d)^2(2R+d)=2R^3-3R^2d+d^3\), поэтому
\[ V_{0\to 2d} = \frac43\pi R^3 - \frac{2\pi}{3}\left(2R^3-3R^2d+d^3\right) = 2\pi R^2 d - \frac{2\pi}{3}d^3. \]Сила. Поправка \(\pi r^2 H_* = \pi(R^2-d^2)\cdot 2d = 2\pi R^2 d - 2\pi d^3\). Вычитаем:
\[ F_{\max} = \rho g\left(2\pi R^2d-\frac{2\pi}{3}d^3-2\pi R^2d+2\pi d^3\right) = \rho g\,\frac43\pi d^3. \] \[ \boxed{m \ge \frac43\pi\left(R^2-r^2\right)^{3/2}\rho} \]Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(m=\tfrac43\pi(R^2+r^2)^{3/2}\rho\) — со знаком «плюс». При \(r\to R\) это даёт \(2\sqrt2\cdot\tfrac43\pi R^3\rho\), то есть массу почти втрое бо́льшую массы воды в объёме всего шара, что невозможно: выталкивающая сила заведомо меньше \(\rho g\cdot\tfrac43\pi R^3\). Правильный знак — минус, и тогда \(d=\sqrt{R^2-r^2}\) — это высота центра шара над дном, величина с ясным геометрическим смыслом.