Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.2. Плавание. Закон Архимеда

Савченко, задача 4.2.17

Задача 4.2.17коническая пробка

Условие

Коническая пробка высоты 10 см с углом при вершине 90° перекрывает в сосуде отверстие радиуса 5 см. Чему должна быть равна масса этой пробки, чтобы она не всплывала при изменении уровня воды в сосуде?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Пробка с углом 90° при вершине: её радиус на любой высоте равен расстоянию до вершины. На уровне отверстия радиус \(r=5\) см, значит вершина торчит на 5 см ниже дна, а основание \(R=10\) см — на 5 см выше дна. Показан самый опасный уровень воды: она как раз накрыла пробку.

Идея Выведем один раз общую формулу для выталкивающей силы, действующей на любую пробку в отверстии, а потом посмотрим, при каком уровне воды она максимальна. Формула получается почти архимедовой, с одной поправкой на «дырку».

Общая формула. Пусть отверстие радиуса \(r\) в дне, уровень воды на высоте \(H\) над дном, а \(V_{0\to H}\) — объём той части пробки, которая находится между плоскостью дна и уровнем воды. Тогда выталкивающая сила

\[ \boxed{F = \rho g\left(V_{0\to H} - \pi r^2 H\right)} \]

Почему так. Представим, что жидкость есть и снизу, до того же уровня, — тогда была бы честная архимедова сила \(\rho g V_{0\to H}\). Но снизу жидкости нет: вместо неё через отверстие «смотрит» атмосфера. Недостающее давление действует ровно на круг отверстия площади \(\pi r^2\), а его величина \(\rho g H\) — гидростатическое давление на дне. Отсюда поправка \(-\rho g H\pi r^2\).

Когда сила максимальна. Поднимем уровень на \(\Delta H\). Прибавка объёма — это слой площади \(S(H)\) (сечение пробки на уровне воды), поэтому

\[ \Delta F = \rho g\big(S(H) - \pi r^2\big)\Delta H. \]

Сила растёт, пока сечение пробки шире отверстия, и убывает, когда у́же. У конуса сечение всё время расширяется кверху, поэтому \(F\) растёт до самого верха пробки — и максимум достигается, когда вода как раз накрыла пробку.

Геометрия конуса. Угол при вершине 90° — значит полуугол 45°, и радиус сечения равен расстоянию до вершины. На уровне дна радиус \(r=5\) см, значит вершина на 5 см ниже дна; общая высота 10 см, значит основание на 5 см выше дна и его радиус \(R=10\) см.

Считаем объём. Высота воды в максимуме \(H=5\) см. Часть конуса между дном и этим уровнем:

\[ V_{0\to H} = \frac{\pi R^2\cdot 2r}{3} - \frac{\pi r^2\cdot r}{3} = \frac{\pi (2r)^2\cdot 2r}{3} - \frac{\pi r^3}{3} = \frac{8\pi r^3}{3}-\frac{\pi r^3}{3} = \frac{7\pi r^3}{3}. \]

(Здесь \(R=2r\), а полная высота конуса \(2r\).) Поправка: \(\pi r^2 H=\pi r^3\). Значит

\[ F_{\max} = \rho g\left(\frac{7\pi r^3}{3}-\pi r^3\right) = \rho g\,\frac{4\pi r^3}{3}. \]

Чтобы пробка не всплывала, нужно \(mg\ge F_{\max}\):

\[ \boxed{m \ge \frac43\pi r^3\rho = \frac43\pi\,(5\ \text{см})^3\cdot1\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \approx 524\ \text{г} \approx 520\ \text{г}} \]

Проверка. Забавно: \(\tfrac43\pi r^3\) — это объём шара радиуса \(r\), то есть радиуса отверстия ✓ (совпадение, но запомнить легко). Проверим формулу при \(H=0\): \(F=0\) ✓ — воды нет, выталкивать нечем. Проверим при большом \(H\) (пробка глубоко под водой): \(F=\rho g(V_{\text{над дном}}-\pi r^2H)\) убывает и при \(H = V_{\text{над дном}}/(\pi r^2)=\tfrac73 r\approx11{,}7\) см обращается в нуль, а дальше вода вдавливает пробку ✓ — над пробкой площадь \(\pi R^2=4\pi r^2\), а «разгружена» только площадь \(\pi r^2\), так что лишняя вода давит вниз. Порядок величины: полкилограмма чугунной пробки — вполне реалистично ✓.

Ответ \(m \ge \tfrac43\pi r^3\rho \approx 520\) г.

Следующая задача 4.2.18 →