Докажите, что сила, с которой прижимаются половины плавающего батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения полусфер батискафа, если он полностью погружён в воду.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Радиус батискафа \(R\), центр — на глубине \(h\). Плоскость среза проходит через центр, её нормаль \(\vec n\) наклонена как угодно. Батискаф «плавает» полностью погружённым, значит он нейтрально плавучий: вес всего батискафа равен архимедовой силе, а поскольку оболочка однородна, на каждую половинку приходится вес \(\rho g V/2\), где \(V=\tfrac43\pi R^3\).
Шаг 1: мысленно заполним половинку водой. Такая «водяная полусфера» покоилась бы, значит силы давления на всю её поверхность (сферическую часть \(S\) плюс плоский круг \(D\)) уравновешивают её вес:
\[ \vec F_S + \vec F_D = \rho g\frac V2\,\vec e_{\text{вверх}}. \]Здесь \(\vec F_S\) — то, что жидкость реально давит на сферическую поверхность (она одна и та же и для воды, и для настоящей половинки).
Шаг 2: сила на плоский круг. Давление растёт с глубиной линейно, поэтому среднее давление по кругу равно давлению в его центре тяжести — а центр тяжести круга совпадает с центром шара, на глубине \(h\). Значит
\[ \vec F_D = \rho g h\cdot\pi R^2\cdot(-\vec n), \]где \(\vec n\) — внешняя нормаль рассматриваемой половинки на срезе. Ключевой момент: величина \(\rho gh\pi R^2\) не зависит от наклона среза, потому что центр круга всегда один и тот же — центр шара.
Шаг 3: настоящая половинка. На неё действуют \(\vec F_S\), собственный вес \(-\rho g\frac V2\vec e_{\text{вверх}}\) и сила \(\vec C\) со стороны второй половинки. Сумма равна нулю:
\[ \vec C = -\vec F_S + \rho g\frac V2\vec e_{\text{вверх}} = -\left(\rho g\frac V2\vec e_{\text{вверх}} - \vec F_D\right) + \rho g\frac V2\vec e_{\text{вверх}} = \vec F_D. \]Итак \(\vec C = -\rho g h\pi R^2\,\vec n\): половинки прижимаются друг к другу силой
\[ \boxed{C = \rho g h\,\pi R^2 = P_{\text{ц}}\cdot S_{\text{сеч}}} \]— давление в центре шара, умноженное на площадь большого круга. Наклон плоскости в ответ не входит, что и требовалось доказать. Заодно видно: сила всегда направлена по нормали к стыку (сдвигающей составляющей нет).