Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения \(H\), если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа \(R\), длина \(L\), плотность жидкости \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему работает проекция. Вырежем тонкий горизонтальный слой толщины \(\Delta z\) на глубине \(z\). Внутри слоя давление одно и то же, \(P=\rho g z\) (атмосферное снаружи уравновешено таким же атмосферным воздухом внутри батискафа — считаем избыточное давление). Горизонтальная равнодействующая давления на дугу полуокружности равна \(P\) на длину хорды, стягивающей дугу, — так же, как равнодействующая одинаковых сил по нормали к дуге. Хорда — это и есть след плоскости стыка. Значит вся сила равна давлению на прямоугольник стыка.
Сила давления на вертикальный прямоугольник. Если ширина \(b\), а нижний край на глубине \(D\) (верхний — на уровне воды), то среднее давление \(\rho g D/2\), площадь \(bD\):
\[ F = \rho g\frac D2\cdot bD = \frac{\rho g\,b\,D^2}{2}. \]Случай а (ось цилиндра вертикальна, высота \(L\), диаметр \(2R\)). Стык — прямоугольник шириной \(b=2R\); центр батискафа на глубине \(H\), значит дно — на глубине \(D=H+L/2\):
\[ \boxed{F_{\text{а}} = \frac{\rho g\cdot 2R\left(H+\dfrac L2\right)^2}{2} = \rho g R\left(H+\frac L2\right)^{2}} \]Случай б (ось горизонтальна, длина \(L\), радиус \(R\)). Стык — прямоугольник шириной \(b=L\); низ батискафа на глубине \(D=H+R\):
\[ \boxed{F_{\text{б}} = \frac{\rho g L\,(H+R)^2}{2}} \]