Определите силу давления брёвен массы \(m\) на стенки канала. Верхнее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее касается верхним участком поверхности воды. Брёвна одинаковы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Верхнее (правое) бревно наполовину в воде: его центр \(O_2\) на уровне воды. Нижнее (левое) касается поверхности верхней точкой: его центр \(O_1\) на глубине \(R\). Брёвна соприкасаются, значит \(O_1O_2=2R\), а перепад высот \(R\):
\[ \sin\alpha = \frac{R}{2R} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 30^{\circ}. \]Горизонтальное расстояние между центрами \(\sqrt{(2R)^2-R^2}=\sqrt3\,R\).
Верхнее бревно. Силы: вес \(mg\), архимедова \(\rho gV/2\), реакция правой стенки \(N_1\) (горизонтально влево) и \(N\) вдоль линии центров от нижнего бревна (вверх-вправо под углом 30° к горизонту). По вертикали и горизонтали:
\[ N\sin30^{\circ} + \frac{\rho gV}{2} = mg, \qquad N\cos30^{\circ} = N_1. \]Нижнее бревно. Оно под водой целиком; \(N\) действует на него вниз-влево:
\[ \rho gV = mg + N\sin30^{\circ}, \qquad N\cos30^{\circ} = N_2. \]Сразу видно \(N_1=N_2\) ✓ — стенки давят одинаково.
Решаем. Сложим два вертикальных уравнения так, чтобы убрать \(\rho gV\). Из первого \(\rho gV = 2mg-2N\sin30^{\circ}=2mg-N\); из второго \(\rho gV = mg+N/2\). Приравниваем:
\[ 2mg-N = mg+\frac N2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3N}{2}=mg, \qquad N=\frac{2mg}{3}. \] \[ F = N\cos30^{\circ} = \frac{2mg}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{mg}{\sqrt3}. \] \[ \boxed{F = \frac{mg}{\sqrt3} \approx 0{,}58\,mg} \]