Два одинаковых бревна расположены в воде так, как показано на рисунке. Нижнее бревно привязано к вертикальной стенке тросами, составляющими с ней угол 45°. Верхнее бревно наполовину погружено в воду. Определите плотность древесины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Верхнее бревно касается стенки и погружено наполовину: его центр \(O_1\) лежит на уровне воды. Нижнее касается верхнего, так что \(O_1O_2=2R\). Трос идёт под 45° к вертикальной стенке, а прямой угол на рисунке говорит, что линия центров тоже наклонена на 45°, но в другую сторону. Обозначим \(V=\pi R^2 L\) — объём бревна, \(M\) — его массу.
Нижнее бревно, проекция на линию центров. Брёвна гладкие — они давят друг на друга вдоль линии центров силой \(N\). Трос перпендикулярен этому направлению, его проекция нуль. Бревно под водой целиком, «подъёмная» равнодействующая \(U=\rho_0 gV-Mg\) вертикальна, а вертикаль составляет с линией центров 45°:
\[ N = U\cos45^{\circ} = \frac{\rho_0 gV-Mg}{\sqrt2}. \]Верхнее бревно, проекция на вертикаль. На него действуют вес \(Mg\), архимедова сила \(\rho_0 gV/2\) (половина под водой), горизонтальная реакция стенки (в вертикаль не входит) и сила \(N\) от нижнего бревна, направленная вдоль линии центров вверх-влево, то есть под 45° к вертикали:
\[ \frac{\rho_0 gV}{2} + N\cos45^{\circ} = Mg \quad\Longrightarrow\quad \frac{N}{\sqrt2} = Mg-\frac{\rho_0 gV}{2}. \]Соединяем. Из первого \(N/\sqrt2 = (\rho_0 gV-Mg)/2\), поэтому
\[ \frac{\rho_0 gV-Mg}{2} = Mg-\frac{\rho_0 gV}{2} \quad\Longrightarrow\quad \rho_0 V-M = 2M-\rho_0 V, \] \[ 2\rho_0 V = 3M \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\rho = \frac MV = \frac23\rho_0 \approx 0{,}67\ \text{г/см}^3} \]