Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объёма 10 см³ каждый, если
верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее
верхнего.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеОба шарика одного объёма \(V\); верхний плавает наполовину погружённым,
нижний целиком под водой. Нить натянута силой \(T\).
Идея
Сначала — вся связка целиком: это даёт массу шариков. Потом — только нижний шарик:
это даёт натяжение.
Вся связка. Верхний шарик даёт \(\rho g V/2\), нижний (он под водой целиком) —
\(\rho g V\). Общий вес \(m g + 3mg = 4mg\):
\[ \rho g\frac V2 + \rho g V = 4mg \quad\Longrightarrow\quad
\frac32\rho V = 4m, \qquad m = \frac38\rho V. \]
Численно \(m = 0{,}375\cdot1000\cdot10^{-5} = 3{,}75\cdot10^{-3}\) кг \(=3{,}75\) г
(нижний — 11,25 г).
Нижний шарик. На него действуют вес \(3mg\) вниз, архимедова сила
\(\rho g V\) вверх и натяжение \(T\) вверх:
\[ T = 3mg - \rho g V = 3\cdot\frac38\rho V g - \rho V g
= \left(\frac98-1\right)\rho V g = \frac{\rho V g}{8}. \]
\[ \boxed{T = \frac{\rho V g}{8} = \frac{1000\cdot10^{-5}\cdot9{,}8}{8}
\approx 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{Н}} \]
Проверка.
Тот же ответ из верхнего шарика: \(\rho gV/2 = mg + T\), откуда
\(T=\rho gV/2 - \tfrac38\rho Vg = \tfrac18\rho Vg\) ✓ — сходится.
Плотность верхнего шарика \(3m/(8\cdot\ldots)\): \(m/V = 0{,}375\) г/см³ ✓ —
легче воды, потому и плавает; нижнего — 1,125 г/см³ ✓, чуть тяжелее воды, потому
тонет и натягивает нить. Натяжение мало́ ✓ — нижний шарик почти «невесом» в воде.
Размерность \(\rho V g\) — ньютоны ✓.
Ответ
\(T = \rho V g/8 \approx 1{,}2\cdot10^{-2}\) Н.