С какой силой давит тяжёлая палочка на дно водоёма, если жёстко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса \(r\) погрузился в жидкость наполовину? Плотность жидкости \(\rho\), длина палочки \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Архимедова сила. Шарик погружён ровно наполовину:
\[ F_A = \rho g\cdot\frac12\cdot\frac43\pi r^3 = \frac23\pi r^3\rho g. \]Она приложена в центре погружённой полусферы, но её линия действия вертикальна и проходит через центр шарика \(C\) (по симметрии полусферы относительно вертикали через \(C\)). Точка \(C\) лежит на уровне воды на расстоянии \(l+r\) от \(O\) вдоль палочки.
Моменты относительно \(O\). Реакция дна приложена в \(O\) — момента не даёт. Обозначим массу палочки \(M\), угол наклона \(\alpha\). Собственной выталкивающей силой тонкой палочки пренебрегаем (она «тяжёлая»):
\[ Mg\cdot\frac l2\cos\alpha = F_A\,(l+r)\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad Mg = \frac{2(l+r)}{l}\,F_A. \]Сила давления на дно. По вертикали \(N + F_A = Mg\):
\[ N = Mg - F_A = F_A\left[\frac{2(l+r)}{l}-1\right] = F_A\,\frac{l+2r}{l}, \] \[ \boxed{N = \frac23\pi r^3\rho g\left(1+\frac{2r}{l}\right)} \]По третьему закону Ньютона с такой же силой палочка давит на дно.