Определите силу натяжения нижней лески у поплавка, изображённого на рисунке, если поплавок погружён в воду на две трети своей длины. Масса поплавка 2 г.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что действует. Верхняя леска провисла (см. рисунок) — она не тянет. Остаются три вертикальные силы: вес \(mg\) в середине поплавка \(G\), архимедова сила \(F_A\) в середине погружённой части \(B\) и натяжение \(F\) нижней лески, приложенное к нижнему концу \(P\).
Моменты относительно точки \(P\). Сила \(F\) приложена в самой точке \(P\) — её момент нуль. Пусть длина поплавка \(l\), угол наклона \(\alpha\). Точка \(G\) отстоит от \(P\) на \(l/2\) вдоль поплавка, точка \(B\) — на \((1/2)\cdot\tfrac23 l = l/3\) (середина погружённого куска). Плечи вертикальных сил — горизонтальные проекции:
\[ mg\cdot\frac l2\cos\alpha = F_A\cdot\frac l3\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad F_A = \frac32\,mg. \]Угол \(\alpha\) и длина \(l\) сократились.
Баланс сил по вертикали: \(F_A = mg + F\), значит
\[ F = F_A - mg = \frac32 mg - mg, \qquad \boxed{F = \frac{mg}{2} = \frac{2\cdot10^{-3}\cdot 9{,}8}{2} \approx 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{Н}} \]Попутно узнаём и объём поплавка: \(\rho\cdot\tfrac23 V=\tfrac32 m\), откуда \(V=\tfrac94 m/\rho = 4{,}5\) см³ ✓ — вполне правдоподобный поплавок.
Полезная общая формула: если под водой доля \(\eta\) длины, то \(F_A/mg = 1/\eta\cdot\ldots\) — точнее, плечо \(B\) равно \(\eta l/2\), и \(F_A=mg/\eta\), \(F=mg(1-\eta)/\eta\). При \(\eta=2/3\) получаем \(F=mg/2\) ✓; при \(\eta\to1\) (поплавок весь под водой) \(F\to0\) ✓ — леску можно отпустить.
Расхождение с задачником. В ответах напечатано \(F=0{,}8\cdot10^{-3}\) Н. Из приведённых данных такое значение не получается: при массе 2 г половина веса — это \(\approx1\cdot10^{-2}\) Н, то есть в двенадцать раз больше. Приведённый выше вывод опирается только на условие «погружено \(2/3\) длины» и на то, что поплавок однородный и тонкий.