Задача 4.2.9подъём уровня в сообщающихся сосудах
Условие
В сообщающиеся сосуды диаметра \(d_1\) и \(d_2\) налита жидкость плотности \(\rho\). На сколько поднимется уровень жидкости в сосудах, если в один из сосудов положить тело массы \(m\) из материала, плотность которого меньше \(\rho\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тело плавает, значит вытесняет столько жидкости, сколько весит само:
\(V_{\text{выт}}=m/\rho\). Этот объём «раздаётся» обоим сосудам, и уровень в них
(они сообщающиеся!) поднимается на одну и ту же высоту.
Вытесненный объём. Условие плавания \(\rho V_{\text{выт}} g = mg\) даёт
\[ V_{\text{выт}} = \frac{m}{\rho}. \]Куда он делся. Уровень в обоих сосудах поднялся на \(x\) — жидкость заняла дополнительно \((S_1+S_2)x\). Это и есть вытесненный объём:
\[ (S_1+S_2)\,x = \frac m\rho, \qquad S_i = \frac{\pi d_i^2}{4}, \] \[ \boxed{x = \frac{4m}{\pi\rho\,(d_1^2+d_2^2)}} \]Проверка.
Размерность: \(\text{кг}/(\text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\cdot\text{м}^2)=\) м ✓.
Ответ симметричен по \(d_1,d_2\) ✓ — неважно, в какой сосуд класть тело: уровень
поднимется одинаково. Если второй сосуд очень широк \((d_2\to\infty)\), то
\(x\to0\) ✓. Плотность самого тела в ответ не входит ✓ — важна только его масса.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(x=4m/[\pi(d_1^2+d_2^2)]\) — потеряна \(\rho\) в знаменателе: без неё формула даже по размерности даёт кг/м², а не метры.
Ответ
\(x = 4m\big/\big[\pi\rho(d_1^2+d_2^2)\big]\).