Задача 4.2.8весы с двумя жидкостями
Условие
К коромыслу весов подвешены два груза равной массы. Если один из грузов поместить в жидкость плотности \(\rho_1\), а другой — в жидкость плотности \(\rho_2\), то равновесие сохраняется. Найдите отношение плотностей грузов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Массы равны, значит равны и силы, которые «съел» Архимед. А архимедова сила — это
\(\rho_{\text{жидк}}Vg\), где \(V=m/\rho_{\text{тела}}\).
Пусть плотности грузов \(\rho'_1\) и \(\rho'_2\), их объёмы \(V_1=m/\rho'_1\), \(V_2=m/\rho'_2\). Равновесие сохранилось, значит равны кажущиеся веса:
\[ mg - \rho_1 V_1 g = mg - \rho_2 V_2 g \quad\Longrightarrow\quad \rho_1 V_1 = \rho_2 V_2, \] \[ \rho_1\frac{m}{\rho'_1} = \rho_2\frac{m}{\rho'_2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{\rho'_1}{\rho'_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}} \]Проверка.
Если жидкости одинаковы \((\rho_1=\rho_2)\), то и грузы одинаковой плотности ✓.
Логика простая: груз, попавший в более плотную жидкость, должен иметь во столько же раз
меньший объём, то есть во столько же раз бо́льшую плотность ✓. Ответ безразмерный ✓ и
не зависит от общей массы \(m\) ✓.
Ответ
\(\rho'_1/\rho'_2 = \rho_1/\rho_2\).