Задача 4.2.25шарик в центрифуге
Условие
Цилиндрический сосуд радиуса \(R\), заполненный жидкостью плотности \(\rho\), вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг своей оси. В сосуде находится шарик радиуса \(r\) и плотности \(2\rho\). Найдите силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Во вращающейся системе отсчёта работает «центробежная тяжесть» \(g_{\text{эфф}}=\omega^2x\),
направленная от оси. Архимед работает и здесь: жидкость выталкивает тело против
\(g_{\text{эфф}}\), то есть к оси, и сила равна \(\rho V\omega^2 x_c\), где \(x_c\) —
расстояние от оси до центра шарика (для шара среднее по объёму как раз равно значению в
центре).
Где шарик. Он вдвое плотнее жидкости, поэтому уходит к стенке; его центр — на расстоянии \(x_c=R-r\) от оси.
Две силы. Объём шарика \(V=\tfrac43\pi r^3\).
\[ F_{\text{цб}} = 2\rho V\omega^2 (R-r)\ \text{(от оси)},\qquad F_{A} = \rho V\omega^2 (R-r)\ \text{(к оси)}. \]Реакция стенки равна их разности:
\[ N = (2\rho-\rho)V\omega^2(R-r), \qquad \boxed{N = \frac43\pi r^3(R-r)\rho\,\omega^2} \]С такой же силой шарик давит на стенку.
Проверка.
Размерность: \(\text{м}^3\cdot\text{м}\cdot(\text{кг/м}^3)\cdot\text{с}^{-2}
=\) кг·м/с² = Н ✓.
При \(\rho_{\text{ш}}=\rho\) сила была бы нулевой ✓ — тело той же плотности «плавает»
в центрифуге где угодно.
При \(r\to R\) сила \(\to0\) ✓ — шарик заполняет сосуд, его центр на оси, «тяжести»
там нет.
Множитель \((R-r)\), а не \(R\) ✓ — работает расстояние до центра шарика.
Формулу удобно читать так: «эффективный вес» шарика в поле \(\omega^2 x\) равен
\((\rho_{\text{ш}}-\rho)V\omega^2x_c\) — точный аналог \((\rho_{\text{ш}}-\rho)Vg\) ✓.
Ответ
\(N = \tfrac43\pi r^3(R-r)\rho\omega^2\).