Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса \(R\), частично заполненный жидкостью,
вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины
\(l\) привязан воздушный шарик радиуса \(r\); во время вращения нить образует со стенкой
угол \(\alpha\). Определите угловую скорость вращения сосуда.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеШарик невесом, поэтому нить направлена точно по равнодействующей
выталкивающих сил: вверх — против тяжести, внутрь — против центробежной. Их отношение
и даёт \(\mathrm{tg}\,\alpha\).
Идея
Шарик практически невесом, значит на него действуют только натяжение нити и выталкивающая
сила. Выталкивающая сила направлена против эффективной тяжести, у которой две
составляющие: \(g\) вниз и \(\omega^2x\) от оси. Значит Архимед толкает шарик вверх и
к оси, а нить ложится точно вдоль этой равнодействующей.
Две составляющие выталкивающей силы (\(V\) — объём шарика, \(x\) — расстояние
от оси до его центра):
Где центр шарика. Нить закреплена на стенке (радиус \(R\)), от точки крепления
до центра шарика \(l+r\) вдоль нити, и это отклоняет его к оси на
\((l+r)\sin\alpha\):
Проверка.
При \(\omega\to0\) получаем \(\alpha\to0\) ✓ — шарик всплывает вертикально вдоль
стенки. Чем быстрее вращение, тем больше \(\alpha\) ✓.
Заметьте необычность: шарик отклоняется к оси, а не наружу ✓ — он ведь легче
жидкости, и в центрифуге лёгкое всплывает к центру, как пузырьки в чашке чая при
помешивании.
Размерность: \(g/\text{м}\) — с\(^{-2}\), корень даёт с\(^{-1}\) ✓.
Ограничение: формула имеет смысл, пока \((l+r)\sin\alpha<R\) ✓ — шарик не должен
дойти до оси.
Ответ
\(\omega = \sqrt{g\,\mathrm{tg}\,\alpha\big/\big[R-(l+r)\sin\alpha\big]}\).