Задача 4.2.27молекула в центрифуге
Условие
Молекула жидкости состоит из двух слабо связанных между собой групп атомов. Объём этих групп одинаков, их массы равны \(m_1\) и \(m_2\). При вращении жидкости в центрифуге радиуса \(R\) с угловой скоростью, большей \(\omega\), молекулы начинают распадаться. Оцените силу связи групп атомов в молекуле.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Молекулы — это и есть сама жидкость, поэтому её плотность известна: масса молекулы
\(m_1+m_2\) на объём \(2V_0\). Каждая группа испытывает центробежную силу и
«архимедову» силу со стороны соседей; их разность и растягивает связь.
Плотность жидкости. Молекула занимает объём \(2V_0\) и весит \(m_1+m_2\):
\[ \rho = \frac{m_1+m_2}{2V_0}, \qquad\text{значит}\qquad \rho V_0 = \frac{m_1+m_2}{2}. \]Сила на каждую группу. На расстоянии \(x\) от оси эффективная тяжесть равна \(\omega^2x\). Для группы 1 «вес минус Архимед»:
\[ F_1 = (m_1-\rho V_0)\,\omega^2 x = \left(m_1-\frac{m_1+m_2}{2}\right)\omega^2x = \frac{m_1-m_2}{2}\,\omega^2 x, \]а для группы 2 — точно такая же по модулю, но противоположная: \(F_2=-F_1\). Значит связь растягивается силой \(|F_1|\): тяжёлую группу тянет наружу, лёгкую — внутрь.
Порог разрыва достигается у стенки, при \(x=R\):
\[ \boxed{F \approx \frac{(m_1-m_2)\,\omega^2R}{2}} \]Проверка.
При \(m_1=m_2\) сила равна нулю ✓ — симметричная молекула в центрифуге не разрывается
вовсе, как бы быстро её ни крутили: обе половинки «плавают» одинаково.
Размерность: кг·с\(^{-2}\)·м = Н ✓.
Разрыв начинается у самой стенки ✓ — там \(x\) максимально, и именно поэтому в ответ
входит \(R\).
Множитель \(1/2\) существенен ✓: наивный ответ «\((m_1-m_2)\omega^2R\)» вдвое завышен,
потому что забывает про выталкивание со стороны остальной жидкости.
Слово «оцените» уместно: молекулы ориентированы хаотично, и разрываются в первую очередь
те, что стоят вдоль радиуса ✓.
Ответ
\(F \approx (m_1-m_2)\omega^2R/2\).