Насосная станция города поддерживает в водопроводе на уровне первого этажа давление 5 атм. Определите (пренебрегая трением при течении жидкости) скорость струи воды, вытекающей из крана на первом, втором и третьем этажах, если краны каждого последующего этажа расположены на 4 м выше кранов предыдущего. На какой этаж вода по водопроводу уже не поднимется?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение Бернулли от станции до крана (скорость в широкой трубе считаем нулевой):
\[ P + \rho g\cdot0 = P_0 + \rho g H_n + \frac{\rho v_n^2}{2}, \]где \(H_n=4(n-1)\) м — высота крана \(n\)-го этажа над первым. Отсюда
\[ v_n = \sqrt{\frac{2\,(P-P_0)}{\rho} - 2gH_n}. \]Числа. Избыточное давление \(P-P_0 = 4\) атм \(=4{,}05\cdot10^5\) Па, поэтому \(2(P-P_0)/\rho = 810\) м²/с².
\[ v_1=\sqrt{810}=28{,}5\ \text{м/с},\quad v_2=\sqrt{810-78{,}4}=27{,}0\ \text{м/с},\quad v_3=\sqrt{810-156{,}8}=25{,}6\ \text{м/с}. \]Докуда достанет. Струя исчезает, когда \(\rho gH = P-P_0\):
\[ H_{\max}=\frac{P-P_0}{\rho g}=\frac{4{,}05\cdot10^5}{10^3\cdot9{,}8}\approx41\ \text{м}. \]Это \(41/4 = 10{,}3\) этажа выше первого, то есть вода дойдёт до одиннадцатого этажа и не поднимется на двенадцатый.
\[ \boxed{v_1\approx28{,}5;\ v_2\approx27{,}0;\ v_3\approx25{,}6\ \text{м/с};\quad \text{на 12-й этаж вода не поднимется}} \]