Задача 4.3.2натяжение подвеса
Условие
Сосуд с водой подвешен к потолку. Высота воды в сосуде \(h\). На сколько изменится сила натяжения подвеса, если в дне сосуда открыть маленькое отверстие, из которого будет вытекать струя сечения \(S\)? Плотность воды \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Струя уносит вниз импульс. Значит на сосуд действует «реактивная» сила вверх, равная
секундному уносу импульса — она и разгружает подвес.
Скорость струи (Торричелли): \(v=\sqrt{2gh}\).
Унос импульса. За время \(\Delta t\) вытекает масса \(\rho S v\,\Delta t\) со скоростью \(v\) вниз, то есть импульс \(\rho Sv^2\Delta t\):
\[ F_{\text{реакт}} = \rho S v^2 = \rho S\cdot 2gh = 2\rho g h S \quad(\text{вверх}). \]Натяжение сразу после открытия падает ровно на эту величину:
\[ \boxed{\Delta T = 2\rho g h S} \]Проверка.
Можно и «в лоб»: в дне появилась дырка площади \(S\), давление на которую было
\(\rho gh\) — вниз стало давить меньше на \(\rho ghS\). Но одновременно струя,
ускоряясь до \(v\) внутри сосуда, забирает импульс, и полный эффект вдвое больше ✓ —
оба способа дают \(2\rho ghS\), это стандартная «дырка в сосуде».
Размерность: \(\rho gh\cdot S\) — Н ✓.
Предел \(h\to0\) даёт \(\Delta T\to0\) ✓.
Величина не зависит от формы сосуда ✓ — важна только глубина отверстия и сечение струи.
Ответ
Натяжение уменьшится на \(\Delta T = 2\rho ghS\).