Задача 4.3.3мощность насоса
Условие
Насос должен подавать ежесекундно объём воды \(V\) на высоту \(h\) по трубе постоянного сечения \(S\). Какова должна быть мощность насоса? Плотность воды \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Насос за секунду поднимает массу \(\rho V\) на высоту \(h\) и разгоняет её до
скорости \(v=V/S\). Мощность — сумма этих двух «секундных» энергий.
\[ N = \underbrace{\rho V g h}_{\text{подъём}} + \underbrace{\frac{\rho V v^2}{2}}_{\text{разгон}},
\qquad v=\frac VS, \]
\[ \boxed{N = \rho V\left(gh + \frac{V^2}{2S^2}\right)} \]
Проверка.
Размерность: \(\rho V\cdot gh\) — (кг/с)·(м²/с²) = Вт ✓.
При очень широкой трубе \((S\to\infty)\) остаётся только \(\rho Vgh\) ✓ — вода еле
ползёт, кинетическая энергия ни при чём.
При узкой трубе доминирует \(\rho V^3/(2S^2)\) ✓ — насос работает почти только «на разгон».
Пример: \(V=10\) л/с, \(h=20\) м, \(S=50\) см²: \(v=2\) м/с,
\(N=10\cdot(196+2)=1{,}98\) кВт ✓ — реалистичная мощность бытового насоса.
Ответ
\(N = \rho V\big[gh + V^2/(2S^2)\big]\).