а. Стационарный поток жидкости, протекающей по трубе переменного сечения, давит на участок трубы \(A\) между сечениями 1 и 2, который по третьему закону Ньютона давит на жидкость в противоположном направлении. Следовательно, сила, действующая на жидкость со стороны этого участка, направлена против движения жидкости. Почему же жидкость в области справа от сечения 2 имеет бо́льшую скорость, чем в области слева от сечения 1?
б. Чему равна сила, действующая на жидкость со стороны участка трубы \(A\)? Площадь сечений 1 и 2 равна соответственно \(S_1\) и \(S_2\). Плотность жидкости \(\rho\). В области справа от сечения 2 скорость жидкости равна \(v\), а давление в ней равно нулю.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Разрешение парадокса. Выделим жидкость между сечениями 1 и 2. На неё действуют: \(P_1S_1\) вперёд (слева), \(P_2S_2=0\) назад (справа) и сила \(F\) со стороны стенки \(A\) — назад. Ускоряет жидкость именно перепад давления: в широкой части давление большое, в узкой — нулевое. Тормозящая сила стенки только уменьшает ускорение, но не отменяет его.
б. Считаем. Непрерывность: \(v_1S_1=vS_2\), значит \(v_1 = v\,S_2/S_1\). Бернулли (труба горизонтальная):
\[ P_1+\frac{\rho v_1^2}{2}=0+\frac{\rho v^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad P_1=\frac{\rho}{2}\left(v^2-v_1^2\right) =\frac{\rho v^2}{2}\left(1-\frac{S_2^2}{S_1^2}\right). \]Импульс. Секундная масса \(\mu=\rho S_2 v\), её скорость меняется с \(v_1\) на \(v\):
\[ P_1S_1 + F = \mu\,(v-v_1) = \rho S_2 v\,(v-v_1). \]Подставим \(S_2=kS_1\), \(k=S_2/S_1\), \(v_1=kv\):
\[ F = \rho v^2 k S_1(1-k) - \frac{\rho v^2}{2}S_1\left(1-k^2\right) = \rho v^2S_1(1-k)\left[k-\frac{1+k}{2}\right] = -\frac{\rho v^2S_1}{2}\,(1-k)^2. \] \[ \boxed{|F| = \frac{\rho v^2 S_1}{2}\left(1-\frac{S_2}{S_1}\right)^2,\ \text{против течения}} \]б. \(F = \rho v^2S_1(1-S_2/S_1)^2/2\), направлена против течения.